Что особенного в + - х ÷ √

[Epsilon-Delta]

Добрый день, друзья. В этом году я поступил на первый курс одного технического ВУЗа, и в сентябре у нас начался курс математического анализа. В связи с этим я решил выяснить, где же, собственно, заканчивается то, что изучалось в школе под названием алгебра, и где начинается то, что нам преподают теперь под названием анализ.

Насколько я смог разобраться, алгебраическими называют выражения, которые, во-первых, не содержат никаких иных операторов помимо сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня натуральной степени (возведение в рациональную степень так или иначе сводится к перечисленным операциям). Во-вторых, чтобы выражение было алгебраическим, оно должно содержать конечное число этих операций. Если выражение содержит какой-либо иной оператор (например, синус, логарифм), оно называется трансцендентным. А теперь вопрос: почему выражения, сконструированные только из пяти названных операций, объединены в особую группу? В чём принципиальное отличие этих пяти операторов от всех остальных?

Вопрос этот кажется мне вполне естественным. Ведь, в конце концов, в школе и тригонометрию, и логарифмы, и показательную функцию изучают на уроках алгебры. Но теперь вдруг оказывается, что эти функции ей "трансцендентны". Однако, к своему удивлению, в разных источниках я не просто не нашёл какого-либо ответа на этот вопрос, пусть даже неясного и неудовлетворительного. Я не нашёл даже намёка на объяснение. Везде просто констатируется факт: алгебраическое заканчивается вот здесь. Но почему оно должно заканчиваться вот здесь? Почему мы должны исследовать выражения, образованные этими пятью операциями, как нечто отдельное и самостоятельное?

У меня есть одна просьба: не писать бегающих по кругу ответов в духе "Эти операции выделены в особую группу, потому что их достаточно для решения алгебраических уравнений". Такой ответ просто порождает новый вопрос "Почему уравнения, для решения которых достаточно этих операций, объединены в особую группу, называемую алгебраическими уравнениями?". Я хочу по существу обсудить вопрос: что особенного в этих пяти операциях? (либо в выражениях, которые можно образовать путём их конечного применения)

[mihaild]

Есть понятие алгебраической функции. Функция $f$ является алгебраической, если для некоторого нетривиального многочлена $n+1$ переменных $P$ выполнено $P(f(x_1, \ldots, x_n), x_1, \ldots, x_n) = 0$. Упражнение на понимание: продемонстрируйте, что функция $f(x) = \sqrt[7]{x^{42} + 666x}$ является алгебраической. Упражнение 2: продемонстрируйте, что все функции, которые можно задать алгебраическими выражениями, алгебраические.

Дальше могут возникнуть два естественных вопроса. Понимаете, какие?

[arseniiv]

mihaild
Кстати, требуется ли обычно аналитичность от алгебраических функций? А то если да, куда девать модуль?

-- Вс окт 14, 2018 04:06:56 --

Частичный оффтоп (раз уж вопрос сам возник):

Epsilon-Delta в сообщении #1346018 писал(а):

В связи с этим я решил выяснить, где же, собственно, заканчивается то, что изучалось в школе под названием алгебра, и где начинается то, что нам преподают теперь под названием анализ.

Школьную алгебру, по идее, можно спокойно поглотить матанализом, но вообще этот вопрос довольно бесполезный, особенно если учесть, что многие вещи в школе практически невозможно определить с необходимой строгостью.

[mihaild]

arseniiv в сообщении #1346028 писал(а):

Кстати, требуется ли обычно аналитичность от алгебраических функций?

Не требуется, она автоматически получается.

arseniiv в сообщении #1346028 писал(а):

А то если да, куда девать модуль?

В смысле - куда? Алгебраической функцией он не является.

[Epsilon-Delta]

mihaild в сообщении #1346026 писал(а):

Есть понятие алгебраической функции. Функция $f$ является алгебраической, если для некоторого нетривиального многочлена переменных $P$ выполнено $P(f(x_1, \ldots, x_n), x_1, \ldots, x_n) = 0$. Упражнение на понимание: продемонстрируйте, что функция $f(x) = \sqrt[7]{x^{42} + 666x}$ является алгебраической. Упражнение 2: продемонстрируйте, что все функции, которые можно задать алгебраическими выражениями, алгебраические.

Дальше могут возникнуть два естественных вопроса. Понимаете, какие?

Это хождение в замкнутом круге определений, которое никак не приближает к ответу на вопрос. Вопрос заключается в том, почему функции, образованные только пятью названными операциями, выделены среди остальных. Как они при этом называются, значения не имеет.

[mihaild]

Ни у кого не получится вам ничего объяснить, если вы не будете читать объяснения. И очень быстро перестанут пытаться. Важное общее свойство функций из этого списка я указал:

mihaild в сообщении #1346026 писал(а):

Упражнение 2: продемонстрируйте, что все функции, которые можно задать алгебраическими выражениями, алгебраические

Заметьте, что определение алгебраической функции не ссылается на приведенный вами список.

[Epsilon-Delta]

mihaild в сообщении #1346037 писал(а):

Заметьте, что определение алгебраической функции не ссылается на приведенный вами список.

sin (0) + 0 = 0

Либо я не понял ваше определение алгебраической функции, либо из приведённого равенства следует, что синус является алгебраической функцией.

[mihaild]

$P(f, x_1, \ldots)$ должен быть равен нулю как функция.
Например, многочлен $P(y, x_1) = y - x_1^2$ задает алгебраическую функцию $f$ такую что для всех $x_1$ выполнено $f(x_1) - x_1^2 = 0$. Т.е. $f(x) = \sqrt{x}$.
Для синуса не получится написать многочлен $P(y, x)$ с ненулевым коэффициентом при $y$ такой что $P(\sin(x), x) = 0$ при всех $x$.

[Epsilon-Delta]

mihaild в сообщении #1346041 писал(а):

для всех $x_1$ выполнено $f(x_1) - x_1^2 = 0$. Т.е. $f(x) = \sqrt{x}$.

Здесь нет опечатки?

$f(x) - x^2 = 0$

$f(x) = x^2$,

разве нет?

[mihaild]

Ой, да, там квадрат на $f$ должен быть, конечно.
(и запишите формулы правильно, пока можете редактировать, а то тему в карантин унесут)

[Epsilon-Delta]

Хорошо. Тогда, если я всё правильно понял, алгебраичность функции из упражнения следует из существования полинома

$f^7(x) - x^{42} - 666x$

-- 14.10.2018, 04:44 --

Решение упражнения 2: все функции, которые можно задать алгебраическими выражениями, являются алгебраическими, поскольку для любой из них возможно освобождение от радикалов путём конечного числа преобразований и, как следствие, представление её в виде уравнения, содержащего только действия сложения, вычитания и умножения. Что, в свою очередь, обеспечивает возможность записи многочлена $P(f(x_1, \ldots, x_n), x_1, \ldots, x_n) = 0$.

[mihaild]

Тут нужно бы уточнить, что значит "избавиться от радикалов", но не суть.
В общем ваш набор функций хорошо тем, что с его помощью можно выразить только алгебраические функции. К сожалению, не все - например, функцию, задаваемую полиномом $x_1 y^5 + x_2 y^4 + x_3 y^3 + x_4 y^2 + x_5 y^1 + x_6 y^0$ через него выразить не получится.
Никакими особо примечательными свойствами именно это подмножество алгебраических функций не обладает, просто исторически выделили именно их.
Интересное отличие функций из этого набора от логарифма, экспоненты и прочего - именно в том, что через них выражаются только алгебраические функции.

[Epsilon-Delta]

Под набором функций вы сейчас имеете в виду набор операторов + - х ÷ √ ?

Т.е. эти элементарные функции и их комбинации образуют лишь подмножество алгебраических функций? И можно привести примеры алгебраических функций, которые образованы какими-то операторами помимо этих пяти?

И какие два напрашивающихся вопроса вы имели в виду в своём первом посте?

[mihaild]

Epsilon-Delta в сообщении #1346049 писал(а):

Под набором функций вы сейчас имеете в виду набор операторов + - х ÷ √ ?

Да.

Epsilon-Delta в сообщении #1346049 писал(а):

И можно привести примеры алгебраических функций, которые образованы какими-то операторами помимо этих пяти?

mihaild в сообщении #1346047 писал(а):

например, функцию, задаваемую полиномом $x_1 y^5 + x_2 y^4 + x_3 y^3 + x_4 y^2 + x_5 y^1 + x_6 y^0$ через него выразить не получится

Два вопроса:
-а что такого интересного в алгебраических функциях? (ответ: полиномы имеют кучу важных свойств, да и сами алгебраические функции возникают, например, в теореме Лиувилля)
-почему из всех алгебраических функций выбраны именно эти? (ответ: в основном по историческим причинам)

[Munin]

Epsilon-Delta в сообщении #1346018 писал(а):

Вопрос этот кажется мне вполне естественным. Ведь, в конце концов, в школе и тригонометрию, и логарифмы, и показательную функцию изучают на уроках алгебры.

Школьная "алгебра" - это смесь нескольких разных математических разделов:
- настоящая алгебра (в той части, где преобразуются выражения, составленные из символов и операций);
- математический анализ (в той части, где выражения исследуются как функции);
- немножко теория чисел, немножко комбинаторика, и так далее.
По сути, в неё сваливают всё то, что не помещается в школьную "геометрию" (которая тоже смесь, выбранная по принципу "всё то, что требует чертежей, но для чертежей достаточно циркуля и линейки").

----------------

Алгебра в настоящем смысле слова - занимается тем, чтобы из чего-то сделать выражения, и исследовать возникающий "мир" выражений. А что эти выражения можно в каком-то смысле вычислить - алгебру обычно не заботит. В каком-то другом неформальном смысле, алгебра стремится отождествить выражение с его значением.

Первые выражения, с которыми школьник сталкивается в математике - это выражения из чисел. Школьнику дают список правил, как выполнять все эти действия ${+},{-},{\cdot},{/},\sqrt[n]{\phantom{x}}$ - до того, как он задумается над тем, над чем они выполняются, и что, собственно, значит "выполнять". Некоторые вопросы остаются нерешёнными: почему числа можно записывать то в виде простых дробей, то в виде десятичных, а то в виде радикалов. Здесь школьнику показывают числовую прямую, но это идея не из алгебры, а из матанализа. С точки зрения алгебры, тут три или больше различных множеств чисел.

Следующий этаж алгебры, ещё освещаемый в школе, - это "выражения с буквами". Это многочлены и рациональные функции. Оказывается, с многочленами тоже можно делать все те же действия: ${+},{-},{\cdot},$ что и с целыми числами. Многочлены иногда раскладываются на множители а иногда не раскладываются, деление иногда даёт остаток - всё очень похоже на целые числа. Это всё алгебра. (А что многочлен можно рассмотреть как функцию, построить её график, - это матанализ.) Деление произвольного многочлена на произвольный многочлен даёт нам "мир" рациональных функций - в общем случае дробей с полиномиальными числителем и знаменателем - которые в каком-то смысле подобны простым числовым дробям (рациональным числам). Операция корня $\sqrt[n]{\phantom{x}}$ не так просто переносится в "мир" многочленов - её аналогом становится нахождение какого-то корня многочлена - и оказывается, что для многих многочленов оно никак не выражается через "обычные числовые операции".

Но конечно, алгебра не ограничена этими вариантами. Можно строить выражения и с другими операциями. Например, в школе на информатике показывают булеву алгебру с операциями ${\land},{\lor},{\lnot}$; (на математике) алгебру множеств с операциями ${\cap},{\cup},{\setminus}$; векторную алгебру. Если честно, то ещё показывают и алгебру функций, в которой есть такая важная операция, как ${\circ}$ - композиция, то есть подстановка одной функции в аргумент другой функции. Например,

$(\sin x)\circ(x^2)=\sin(x^2)$
$(x^2)\circ(\sin x)=(\sin x)^2=\sin^2 x$

Математический анализ предоставляет ещё такие операции, как производная и первообразная, и алгебра тоже может заняться этими операциями, включая их в "мир функций" как алгебраическую конструкцию. Алгебре всё равно, что значат эти операции. Для алгебры интересны их свойства.

----------------

Математический анализ строит функции другим способом. Он рассматривает точки на числовой прямой с точки зрения их близости друг к другу (это первый отблеск такого раздела математики, как топология). Некоторые числа - такие как $\pi$ и $e$ - можно построить только как бесконечные последовательности сближающихся к ним "алгебраических чисел". Так что, матанализ занимается пределами - сначала пределами последовательностей, потом пределами функций. На основе понятия предела можно сформулировать понятие непрерывности (интуитивно непрерывности графика как линии), касательной, производной, интеграла.

И дальше матанализ резвится в "мире", образованном этими понятиями. Можно задать дифференциальное уравнение, связывающее производную функции с самой функцией - это функциональное уравнение, то есть, наложенное на функцию, и решением которого может быть именно функция, а не число. Например, $f'+f=0.$ Оказывается, что решением этого уравнения будет функция $f(x)=e^{-x}.$ Или $(f')'+f=0$ - решениями этого уравнения будут $f(x)=\sin x$ и $f(x)=\cos x.$ (Именно так эти функции вообще вводятся в математику. Но на самом деле, там будет ещё много решений, сразу оговорю.) Найти эти решения алгебраическими методами нельзя. Зато можно, например, численно встать в точку $(x=0,f=1),$ и начать рассуждать: $f'=-f=-1,$ значит, в ближайшей точке $x+\Delta x$ новое значение будет примерно равно $f+f'\,\Delta x=1-\Delta x$; и так далее.