Узлы, косы, частицы... и как всё это связать эфиром

[bayak]

Узлы, косы, частицы давно уже пытаются связать воедино (смотрите, например, недавнюю статью Quantum groups and braid groups as fundamental symmetries), но чего-то не хватает. А что если частицы это замкнутые линии тока векторного поля скоростей частичек эфира. Конечно в данном случае надо рассматривать не классические узлы в евклидовом пространстве, а, например, узлы (замкнутые линии тока) на 3-торе, обвитом вокруг 3-сферы с выколотыми полюсами.

[Munin]

bayak в сообщении #1345113 писал(а):

А что если частицы это замкнутые линии тока векторного поля скоростей частичек эфира.

Общеизвестно, что таким способом невозможно воспроизвести спин 1/2 и статистику Ферми. Точка.

[Pphantom]

bayak в сообщении #1345113 писал(а):

А что если частицы это замкнутые линии тока векторного поля скоростей частичек эфира.

Очень, очень жаль, что люди, пытающиеся придумывать "эфирные" модели, не осваивают перед этим гидродинамику (хотя бы в объеме VI тома Л&Л). Это бы весьма способствовало пониманию, что такой тип моделей по меньшей мере на много порядков сложнее, чем тривиальные (на его фоне) общепринятые.

[bayak]

Pphantom, мне тоже очень жаль, что люди (и вы попались в эту ловушку) обычно связывают эфирные модели с примитивными представлениями об эфире как о течении жидкости, в то время как нетривиальное представление связано с эфиром, который как раз не течёт в нашем наблюдаемом физическом пространстве, но течёт вместе с физическим пространством в объемлющем его пространстве.

Munin, не надо паниковать, не всё так пессимистично. По крайней мере, алгебру Ли $su(2)$ можно представить алгеброй касательных векторных полей 3-мерной сферы, а матричную алгебру Дирака - алгеброй линейных векторных полей 8-мерного пространства. Если это не общеизвестно, то можете посмотреть мою статью Applications of the local algebras of vector fields to the modelling of physical phenomena.

Но мне не хотелось бы сводить дискуссию к обсуждению моих заблуждений. Давайте всё же предположим, что узлы это замкнутые линии тока некоего векторного поля (пусть и не эфира), и попробуем спроектировать их на физический мир. Насколько я понял, народ пытается получить набор частиц из фундаментальной группы узла трилистника, который реализуется как рациональная обмотка тора (2 и 3 оборота задающих окружностей). Кроме того, требуется, чтобы узел был сплетён не из верёвки, а из ленточки. А не означает ли это, что если мы будем рассматривать рациональную обмотку 3-тора, у которой обмотка 2-тора образует трилистник, то мы получим эквивалентный результат? А может быть, если 3-тор обвить вокруг 3-сферы, то на этом пути можно и развить нашу модель.

[Pphantom]

bayak в сообщении #1345317 писал(а):

мне тоже очень жаль, что люди (и вы попались в эту ловушку) обычно связывают эфирные модели с примитивными представлениями об эфире как о течении жидкости, в то время как нетривиальное представление связано с эфиром, который как раз не течёт в нашем наблюдаемом физическом пространстве, но течёт вместе с физическим пространством в объемлющем его пространстве.

Видите ли, люди склонны понимать смысл слов. Если Вам угодно использовать конкретный устоявшийся термин, но понимать под ним нечто свое, то это свидетельствует не о нетривиальности Ваших представлений, а о незнании стандартной терминологии и неумении излагать собственные мысли.

[bayak]

Хорошо, эфир многолик, но суть-то не в этом.

[alcoholist]

bayak в сообщении #1345317 писал(а):

не течёт в нашем наблюдаемом физическом пространстве, но течёт вместе с физическим пространством в объемлющем его пространстве

Каково взаимоотношение этих трех пространств, а то я запутался "кто на ком стоял"?

[bayak]

alcoholist в сообщении #1345443 писал(а):

bayak в сообщении #1345317 писал(а):

не течёт в нашем наблюдаемом физическом пространстве, но течёт вместе с физическим пространством в объемлющем его пространстве

Каково взаимоотношение этих трех пространств, а то я запутался "кто на ком стоял"?

Это означает, что физическое пространство вместе с его наблюдаемой частью суть слоение голономного векторного поля, например, 7-мерной сферы. А если на 7-мерной сфере не существует голономных векторных полей, то будем полагать, что сфера эволюционирует (например, раздувается), и тогда надо рассматривать голономные векторные поля в 8-мерном пространстве. Кроме того, предполагается, что наблюдаемая часть физического пространства выделяется из физического пространства, поскольку в типичном слое слоения, который в случае вакуумного векторного поля представляет собой тор, обвитый вокруг произведения сфер $S^3\times S^3,$ диаметр одной сферы значительно больше диаметра другой сферы.

[SergeyGubanov]

На сколько я понял, рассматриваются несколько векторных полей в $R^{d}$ в Декартовых координатах, чтоб связность была равна нулю, так меньше возни с ковариантным дифференцированием (обозначения мои):

$$ \hat{P}^{a} = P^{a B} ({\bf Q}) \, \frac{\partial}{\partial Q^B}. \eqno(1) $$

Далее на операторы $\hat{P}^{a}$ накладываются условия, чтоб они стали генераторами алгебры, какой нам захотелось. Эти условия превращаются в условия для функций $P^{a B} ({\bf Q})$, запишем их так:

$$ {\bf F} ( P^{a B} ({\bf Q}) ) = 0. \eqno(2) $$

Условия (2) могут выполняться, например, не во всём исходном $R^d$, а в некотором его хитром подпространстве $W_m$, здесь $m \le d$.

И вот у нас уже появилось два пространства: теперь операторы $\hat{P}^a$ живут в пространстве $W_m$, которое может быть вложено в пространство $R^d$. Пусть $q^b$ - координаты в $W_m$. Пространство $W_m$ вообще говоря обладает ненулевой кривизной, стало быть там операторы $\hat{P}^a$ выражаются не через частные производные $\frac{\partial}{\partial q^b}$, а через ковариантные $\nabla_{q^b}$:

$$ \hat{P}^a = P^{a b} ({\bf q}) \, \nabla_{q^b}. \eqno(3) $$

Допустим условия (2) были такими, чтобы операторы $\hat{P}^a$ образовывали алгебру матриц Дирака. В этом случае оператор Дирака в нашем, так сказать, физическом пространстве $M_n$ (вот и появилось третье пространство, пусть $x^{\mu}$ - координаты в нём, а $\nabla_{x^{\mu}}$ - оператор ковариантного дифференцирования по $x^{\mu}$) может быть записан так:

$$ \hat{D} = i \, \hat{P}^a \, e_{(a)}^{\mu}(x) \, \nabla_{x^{\mu}} = i \, P^{a b} ({\bf q}) \, e_{(a)}^{\mu}(x) \, \nabla_{q^b} \otimes \nabla_{x^{\mu}}. \eqno(4) $$

Уравнение Дирака:

$$ \hat{D} \, \psi(x^{\mu}, q^{a}) = m \, \psi(x^{\mu}, q^{a}). \eqno(5) $$

В оригинале $\hat{P}^a$ были матрицами (Дирака) и спинорное поле $\psi(x^{\mu})$ имело несколько компонент. А теперь $\hat{P}^a$ являются дифференциальными операторами в пространстве $W_m$ и спинорное поле $\psi(x^{\mu}, q^{a})$ теперь не является многокомпонентным, а является одной комплексной функцией заданной на расширенном пространстве $W_m \otimes M_n$.

bayak, правильно ли я уловил суть?

[bayak]

SergeyGubanov в сообщении #1345725 писал(а):

bayak, правильно ли я уловил суть?

Не совсем так. Просто я заметил, что векторные поля генераторов, порождающих алгебру Ли матричной алгебры Дирака, касательны к сферам 8-мерного евклидова пространства или к сферам пространств с нейтральной метрикой (т.е. проостранств сигнатуры 4,4), а на пересечении сферы и псевдосферы лежит произведение $S^3\times S^3$. С другой стороны, в препринте О групповых конструкциях на произведении сфер показано, что 3-мерная сфера порождает 3-мерное евклидово пространство. Кроме того, симметрии 3-тора, обвитого вокруг 3-сферы, совпадают с унитарной группой $U(3)$. Но векторное поле эфира (движущейся материи) должно быть одно, а следовательно и слоение должно быть одно, в то время как генераторы алгебры скорее всего отражают симметрии типичного слоя слоения. Но это всё мои прикидки, а ваш подход может быть более плодотворным.

[SergeyGubanov]

bayak, что такое "сферам евклидова пространства"?

[bayak]

SergeyGubanov в сообщении #1345769 писал(а):

bayak, что такое "сферам евклидова пространства"?

Это всего лишь означает, что векторное поле в каждой точке пространства ортогонально (в метрике этого пространства) радиус-вектору, а следовательно касательно к сфере, чей радиус равен длине (в этой же метрике) этого же радиус-вектора.

[SergeyGubanov]

bayak, а не лучше было бы тогда вообще не говорить про пространство в которое вложена сфера, а говорить просто про векторные поля на сфере?

-- 12.10.2018, 18:24 --

SergeyGubanov в сообщении #1345725 писал(а):

$$ \hat{D} = i \, \hat{P}^a \, e_{(a)}^{\mu}(x) \, \nabla_{x^{\mu}} = i \, P^{a b} ({\bf q}) \, e_{(a)}^{\mu}(x) \, \nabla_{q^b} \otimes \nabla_{x^{\mu}}. \eqno(4) $$

Это хитрое обозначение можно сильно упростить.

Обозначим

$$ X^{b \mu} ({\bf q}, {\bf x}) = P^{a b} ({\bf q}) \, e_{(a)}^{\mu}({\bf x}). \eqno(6) $$

Тогда

$$ \hat{D} = i \, X^{a \mu} ({\bf q}, {\bf x}) \, \nabla_{q^a} \otimes \nabla_{x^{\mu}}. \eqno(7) $$

Введём следующие координаты в пространстве $W_m \otimes M_n$:

$$ y^{\alpha} = \left\{ q^{1}, q^{2}, \dots, q^{m}, x^1, x^2, \ldots , x^{n} \right\} \eqno(8) $$

Тогда

$$ \hat{D} = i \, X^{\alpha} (y) \, \nabla_{y^{\alpha}}. \eqno(9) $$

Оператор Дирака реализован как векторное поле в пространстве $W_m \otimes M_n$.

[bayak]

SergeyGubanov в сообщении #1345801 писал(а):

bayak, а не лучше было бы тогда вообще не говорить про пространство в которое вложена сфера, а говорить просто про векторные поля на сфере?

В этом случае от нас ускользнёт эволюция векторного поля во времени, а так мы можем полагать, что эволюционный параметр времени является функцией (например, логарифмом) радиуса сферы. Кроме того, в таких пространствах векторные поля проще задавать чем на сфере, поскольку там не нужна ковариантная производная.

[SergeyGubanov]

bayak в сообщении #1345835 писал(а):

Кроме того, в таких пространствах векторные поля проще задавать чем на сфере, поскольку там не нужна ковариантная производная.

Понял.

SergeyGubanov в сообщении #1345801 писал(а):

Тогда

$$ \hat{D} = i \, X^{\alpha} (y) \, \nabla_{y^{\alpha}}. \eqno(9) $$

Оператор Дирака реализован как векторное поле в пространстве $W_m \otimes M_n$.

Упс... Сорри, потерял вторую производную. Правильно, будет конечно так

$$ \hat{D} = i \, X^{\alpha \beta} (y) \, \nabla_{y^{\alpha}} \nabla_{y^{\beta}}. \eqno(9) $$

Оператор Дирака реализован как дифференциальный оператор второго порядка на пространстве $W_m \otimes M_n$.

А так даже ещё более интереснее становится. Ведь получается что фермионы и бозоны единообразно удовлетворяют уравнениям второго порядка, но с разными коэффициентами:

$$ i \, X^{\alpha \beta}_{\bf fermi} (y) \, \nabla_{y^{\alpha}} \nabla_{y^{\beta}} \, \psi(y) = m \, \psi(y) \eqno(10) $$

$$ X^{\alpha \beta}_{\bf bose} (y) \, \nabla_{y^{\alpha}} \nabla_{y^{\beta}} \, \phi(y) = m^2 \, \phi(y) \eqno(11) $$

Между ними должна быть связь:

$$ \left( i \, X^{\alpha \beta}_{\bf fermi} (y) \, \nabla_{y^{\alpha}} \nabla_{y^{\beta}} \right)^2 = X^{\alpha \beta}_{\bf bose} (y) \, \nabla_{y^{\alpha}} \nabla_{y^{\beta}}. \eqno(12) $$