Изломы на графике движения и графике скорости

[misha.physics]

Здравствуйте. Вот мои рассуждения (под "изломом или разрывом" на графике я понимаю точку на нем, где он не является гладким, а под гладким графиком я понимаю график, который можно нарисовать не отрывая руки и не делая резких движений :)).

Если график движения имеет "излом" при некотором значении времени, то на графике скорости в этот момент тоже будет "излом или разрыв".
Если график скорости терпит "излом или разрыв", то на графике ускорения будет "излом или разрыв".

Правильно ли, что "в природе" таких "изломов и разрывов" быть не должно? Ни на графике движения, ни на скорости, ни на ускорения.
Правильно ли, что если хотя бы один (любой) из графиков (движения, скорости или ускорения) гладкий, то и остальные графики тоже будут гладкими?

Пусть, например, график движения -- параболический участок, переходящий в прямой отрезок. Тогда графиком скорости будет наклонная линия, переходящая в горизонтальную прямую (здесь есть "излом"). График ускорения вообще будет разрывной функцией (два куска горизонтальных отрезоков). Значит, получается, что график движения тоже не будет гладкой функцией? Просто на "первый взгляд", парабола, переходящая в отрезок прямой выглядит "гладко". То есть, строим параболу, выбираем на ней любую точку, проводим касательную, стираем всё лишнее, и получем ту кривую, которую я имею ввиду. Что можно сказать о непрерывности и дифференцируемости этой функции? Или проблема в том, что мы не можем записать эту функцию аналитически одной формулой?

А когда мы, например, рассматриваем упругое столкновение бильярдных шаров, то можно ли говорить, что графики движения, скорости и ускорения одного из шаров будут гладкими функциями?

[pogulyat_vyshel]

misha.physics в сообщении #1345494 писал(а):

Правильно ли, что "в природе" таких "изломов и разрывов" быть не должно?

в природе нет графиков, графики есть в математических моделях

misha.physics в сообщении #1345494 писал(а):

А когда мы, например, рассматриваем упругое столкновение бильярдных шаров, то можно ли говорить, что графики движения, скорости и ускорения одного из шаров будут гладкими функциями?

в стандартной математической модели, при столкновении график скорости как функции времени имеет разрыв, а что будет с ускорением даже говорить неприлично на этом форуме

[wrest]

misha.physics в сообщении #1345494 писал(а):

Ни на графике движения, ни на скорости, ни на ускорения.

О разрывах (нет непрерывности). Ускорение может разрываться. Держим шар, его ускорение ноль. Отпустили -- его ускорение скачком стало $g$. Координата скачком меняться не может. Скорость может меняться скачком в приближении удара, но "на самом деле" - нет.

Об изломах (нет гладкости но есть непрерывность). Координата Траектория может иметь излом. Например -- идем прямо. Остановились (скорость ноль). Повернулись направо на месте. Пошли. В месте поворота будет прямой угол - излом. Скорость может иметь излом: держим шар в руке - скорость ноль (прямая линия). Отпустили -- скорость увеличивается (другая прямая линия).

[Someone]

misha.physics в сообщении #1345494 писал(а):

под гладким графиком я понимаю график, который можно нарисовать не отрывая руки и не делая резких движений

Общепринято считать линию гладкой, если у неё в каждой точке есть касательная, причём, направление касательной непрерывно зависит от точки линии. Формально: линия $\vec r=\vec r(t)$ называется гладкой на некотором промежутке, если на этом промежутке функция $\vec r(t)$ имеет непрерывную производную, ни в одной точке не обращающуюся в $\vec 0$.

misha.physics в сообщении #1345494 писал(а):

Значит, получается, что график движения тоже не будет гладкой функцией?

График движения будет гладкой линией. График скорости будет непрерывной линией, но не гладкой. График ускорения не является непрерывной линией.

Рекомендую изучать математический анализ. Хотя бы материал первого семестра.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1345494 писал(а):

Правильно ли, что если хотя бы один (любой) из графиков (движения, скорости или ускорения) гладкий, то и остальные графики тоже будут гладкими?

Математики смотрят на это так:
Существует много классов гладкости функций. Под ними обычно понимается вот что:

$C^0(\Omega)$ - непрерывные функции;
$C^1(\Omega)$ - непрерывные и дифференцируемые функции, чья производная также непрерывна - их могут называть просто гладкими;
$C^2(\Omega)$ - непрерывные и дважды дифференцируемые функции, у которых и первая и вторая производная также непрерывны;
...
$C^\infty(\Omega)$ - бесконечно непрерывно дифференцируемые функции.

Очевидно, $C^i(\Omega)\supset C^j(\Omega)$ при $i<j,$ и $C^\infty(\Omega)=\bigcap_i C^i(\Omega).$

Если в какой-то точке у функции разрыв 1 рода типа "скачок", то она в этой точке недифференцируема. Однако она может иметь обобщённую производную - нечто, что называется обобщённой функцией. Соответственно, если у точки в функции "излом", то у первой производной будет "скачок", и обобщённой должна будет стать вторая производная. От обобщённой производной можно взять свою обобщённую производную (опять же не всегда), и так далее.

misha.physics в сообщении #1345494 писал(а):

Правильно ли, что "в природе" таких "изломов и разрывов" быть не должно? Ни на графике движения, ни на скорости, ни на ускорения.

Физики на это смотрят так: да, "в природе" изломов и разрывов быть не должно. Они возникают из-за того, что мы смотрим на график не всё время, а только в отдельные моменты времени, а что происходит в промежутке - не знаем. То есть, если подробно изучить всё, что кажется скачком, там будет просто быстрый переход от одного значения к другому. Однако мы можем заменить такую функцию скачком для простоты, если так нам можно не разбираться в деталях, и нас это устраивает. (Вообще, физики выбирают одно из нескольких математических описаний реальности, пренебрегая теми или иными деталями. С одной стороны, они избегают Сциллы переупрощения, когда получается слишком грубый или вообще не подходящий ответ; а с другой стороны - Харибды сложности, когда расчёт получается слишком объёмный, или невозможен вообще.)

Что будет у производной такой функции, которая быстро изменилась? Производная должна быть очень большой на малом интервале времени. При этом, интеграл от такой производной должен ни быть ни очень большим (из-за большой производной), ни исчезающе малым (из-за малого интервала времени), а всегда должен оставаться конечным - он попросту равен величине скачка.

Математическое определение сложное и не наглядное, а "на уровне начинающих физиков" можно представить себе функцию, которая в какой-то точке имеет бесконечно большое значение, но - только в точке. И причём не просто какое-то бесконечно большое, а чтобы величина интеграла была точно нужной величиной. Эту функцию принято обозначать $\delta(t),$ и называть дельта-функцией, или дельта-функцией Дирака. И надо помнить, что это "не настоящая функция", а обобщённая функция.

[misha.physics]

pogulyat_vyshel,

misha.physics в сообщении #1345494 писал(а):

в природе нет графиков, графики есть в математических моделях

Хорошее замечание. Да, об этом нужно помнить.

pogulyat_vyshel в сообщении #1345496 писал(а):

в стандартной математической модели, при столкновении график скорости как функции времени имеет разрыв, а что будет с ускорением даже говорить неприлично на этом форуме

А чему в этой стандартной математической модели равна скорость одного из шаров в момент столкновения? Или в этот момент времени скорость одного из шаров считается неопределенной? То есть, будет ли на графике скорости эта точка выколотой?

wrest,

wrest в сообщении #1345499 писал(а):

О разрывах (нет непрерывности). Ускорение может разрываться. Держим шар, его ускорение ноль. Отпустили -- его ускорение скачком стало $g$.

Да, действительно, интересно.

wrest в сообщении #1345499 писал(а):

Координата скачком меняться не может.

Ага, это означало бы, что тело в какой-то момент времени исчезает и в тот-же момент появляется в новом месте.

wrest в сообщении #1345499 писал(а):

Скорость может меняться скачком в приближении удара...

Это вы о той стандартной математической модели столкновения, о которой писал pogulyat_vyshel, если я правильно понял.

wrest в сообщении #1345499 писал(а):

Координата Траектория может иметь излом.

Да координата вроде тоже может иметь излом. Например, тело некоторое время покоится, а потом начинает двигаться.

wrest в сообщении #1345499 писал(а):

Скорость может иметь излом: держим шар в руке - скорость ноль (прямая линия). Отпустили -- скорость увеличивается (другая прямая линия).

Действительно, будет излом. А как тогда быть с этим:

Munin в сообщении #1345518 писал(а):

Физики на это смотрят так: да, "в природе" изломов и разрывов быть не должно. Они возникают из-за того, что мы смотрим на график не всё время, а только в отдельные моменты времени, а что происходит в промежутке - не знаем. То есть, если подробно изучить всё, что кажется скачком, там будет просто быстрый переход от одного значения к другому.

Как здесь объяснить излом скорости в момент отпускания шара. Мы ведь можем здесь брать промежутки времени, включающие момент отпускания шара все меньше и меньше. Да:

Munin в сообщении #1345518 писал(а):

Однако мы можем заменить такую функцию скачком для простоты, если так нам можно не разбираться в деталях, и нас это устраивает.

Мне просто стало интересно, а если нас все-таки интересуют детали в момент отпускания шара, то как можно построить график скорости в этой ситуации, чтобы он не имел излома?

Someone,

Someone в сообщении #1345503 писал(а):

если у неё в каждой точке есть касательная

Ага, это обеспечивает непрерывность функции и существование у неё производной, а

Someone в сообщении #1345503 писал(а):

причём, направление касательной непрерывно зависит от точки линии

обеспечивает непрерывность этой производной. То есть этого необходимо и достаточно только для того, чтобы функция принадлежала только классу гладкости $C^1(\Omega)$, но не больше, да?

Someone в сообщении #1345503 писал(а):

ни в одной точке не обращающуюся в $\vec 0$

Значит нужно, чтобы разным значениям $t$ отвечали разные значения $\vec{r}(t)$. То есть, если $t$ --- время, то тело не должно останавливаться. Получается некое ограничение для выполнения условия гладкости функции.

Someone в сообщении #1345503 писал(а):

График движения будет гладкой линией. График скорости будет непрерывной линией, но не гладкой. График ускорения не является непрерывной линией.

2-е и 3-е понятно. 1-е неочевидно. То есть, что мы можем из двух кусков гладких функций "склеить" (надлежащим образом) одну, и она будет гладкой. Я просто думал, что если какая-то функция, описывающая модель механического движения является гладкой, то все её производные и первообразные тоже будут гладкими.

Munin,

Munin в сообщении #1345518 писал(а):

$C^0(\Omega)$ - непрерывные функции;

Этого не знал, спасибо.

Munin в сообщении #1345518 писал(а):

$C^i(\Omega)\supset C^j(\Omega)$ при $i<j$

Наверное, при $i>j$?

Munin в сообщении #1345518 писал(а):

Соответственно, если у точки в функции "излом", то у первой производной будет "скачок", и обобщённой должна будет стать вторая производная.

То есть, например, первой производной будет тета-функция, а второй производной -- дельта функция.

Munin в сообщении #1345518 писал(а):

От обобщённой производной можно взять свою обобщённую производную (опять же не всегда)

Значит, существуют случаи, кода у функции даже обобщённой производной не существует, да?

Munin в сообщении #1345518 писал(а):

Физики на это смотрят так: да, "в природе" изломов и разрывов быть не должно. Они возникают из-за того, что мы смотрим на график не всё время, а только в отдельные моменты времени, а что происходит в промежутке - не знаем. То есть, если подробно изучить всё, что кажется скачком, там будет просто быстрый переход от одного значения к другому. Однако мы можем заменить такую функцию скачком для простоты, если так нам можно не разбираться в деталях, и нас это устраивает.

Спасибо. Я что-то похожее имел ввиду. Что, например, при сталкивании шаров мы можем рассмотреть процесс соударения более детально, вспомнить, что абсолютно твердых тел не существует, что шары будут слегко деформироваться и т. д. и скорость все-таки не будет меняться скачкообразно.

Munin в сообщении #1345518 писал(а):

(Вообще, физики выбирают одно из нескольких математических описаний реальности, пренебрегая теми или иными деталями. С одной стороны, они избегают Сциллы переупрощения, когда получается слишком грубый или вообще не подходящий ответ; а с другой стороны - Харибды сложности, когда расчёт получается слишком объёмный, или невозможен вообще.)

Это точно. По-другому в физике просто невозможно :)

Munin в сообщении #1345518 писал(а):

При этом, интеграл от такой производной должен ни быть ни очень большим (из-за большой производной), ни исчезающе малым (из-за малого интервала времени), а всегда должен оставаться конечным - он попросту равен величине скачка.

Отлично объяснение, спасибо.


Спасибо всем за ответы. Вопрос у меня этот возник из-за того, что слушал (в интернете), как учитель, объясняя тему по равноускоренному движению, говорил, что поскольку ускорение в классической механике связанно с силой, а последняя в свою очередь зависит только от координаты и скорости тела, которые в свою очередь в природе не могут изменятся скачкообразно, то и значит ускорение тоже должно вести себя "хорошо". Вот я и задумался об этом.

P. S. Возникла мысль о "склейке" гладких функций. Если у нас есть две гладкие функции и мы их склеиваем в точке, в которой касательные этих двух функций совпадают, то можно ли сказать, что полученная функция будет гладкой?

[Munin]

misha.physics в сообщении #1345555 писал(а):

То есть, например, первой производной будет тета-функция, а второй производной -- дельта функция.

Да, например, так. ("Тета-функция" - не настолько однозначный термин, предпочтительнее "функция Хевисайда", или "единичная ступенька".)

misha.physics в сообщении #1345555 писал(а):

Значит, существуют случаи, кода у функции даже обобщённой производной не существует, да?

Вот этот вопрос - не ко мне. Такое ощущение, что существует. В матанализе много "патологических" примеров, напротив, почва "нормальных случаев" топкая и зыбкая, как кочки на болоте, шаг в сторону - и утонешь. Физики предпочитают скакать по этим кочкам с завязанными глазами, чтобы не пугаться :-)

misha.physics в сообщении #1345555 писал(а):

Я что-то похожее имел ввиду. Что, например, при сталкивании шаров мы можем рассмотреть процесс соударения более детально, вспомнить, что абсолютно твердых тел не существует, что шары будут слегко деформироваться и т. д. и скорость все-таки не будет меняться скачкообразно.

Да. Можно рассмотреть шары как сжимаемые. Можно - как сжимаемые по-разному в разных точках, тогда мы увидим бегущие по ним звуковые волны. А можно полезть в атомы на поверхности, в квантовую механику, там атомы сближаются постепенно, и уже на бесконечности начинают чуть-чуть "чувствовать" друг друга...

misha.physics в сообщении #1345555 писал(а):

Вопрос у меня этот возник из-за того, что слушал (в интернете), как учитель, объясняя тему по равноускоренному движению, говорил, что поскольку ускорение в классической механике связанно с силой, а последняя в свою очередь зависит только от координаты и скорости тела, которые в свою очередь в природе не могут изменятся скачкообразно, то и значит ускорение тоже должно вести себя "хорошо".

Да, в принципе, так. Ещё стараются делать технические устройства, чтобы в ускорениях не было скачков. Например, pogulyat_vyshel приводил пример трамвайных рельс: их не делают сначала прямыми, а потом сразу по окружности. Спрягают, плавно увеличивая кривизну.

Если мы отпускаем шар, то детали будут в том месте, где мы держим шар, и скажем, наши кончики пальцев разжимаются, шар начинает по ним скользить... В общем, в любой физической задаче можно подумать и придумать, как детальное рассмотрение избавится от скачков.

-- 11.10.2018 20:18:28 --

misha.physics в сообщении #1345555 писал(а):

P. S. Возникла мысль о "склейке" гладких функций. Если у нас есть две гладкие функции и мы их склеиваем в точке, в которой касательные этих двух функций совпадают, то можно ли сказать, что полученная функция будет гладкой?

Если мы согласуем первые производные (касательные), то полученная функция будет $C^1$-гладкой. Если первые и вторые производные - то $C^2$-гладкой. И так далее.

Это не пустой вопрос, это всё очень нужно, при решениях дифференциальных уравнений. Часто приходится склеивать решения из кусков, и накладывать условия склейки именно нужного типа. И эти условия склейки приводят к конкретным результатам: например, при переходе света из одной среды в другую луч преломляется и частично отражается.

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1345561 писал(а):

Если мы отпускаем шар, то детали будут в том месте, где мы держим шар, и скажем, наши кончики пальцев разжимаются, шар начинает по ним скользить...

Вот это да! Точно.

[pogulyat_vyshel]

misha.physics в сообщении #1345555 писал(а):

А чему в этой стандартной математической модели равна скорость одного из шаров в момент столкновения?

а это неважно, неформально говоря, системы с ударами описываются интегральными уравнениями, а там почти все с точностью до множества меры нуль

[Someone]

misha.physics в сообщении #1345555 писал(а):

Someone,

Someone в сообщении #1345503 писал(а):

если у неё в каждой точке есть касательная

Ага, это обеспечивает непрерывность функции и существование у неё производной, а

Someone в сообщении #1345503 писал(а):

причём, направление касательной непрерывно зависит от точки линии

обеспечивает непрерывность этой производной. То есть этого необходимо и достаточно только для того, чтобы функция принадлежала только классу гладкости $C^1(\Omega)$, но не больше, да?

Не совсем так, тут есть тонкости. Если говорить о скалярной функции одной переменной и рассматривать её график, то может получиться так, что касательная к графику в какой-то точке вертикальна (как обычно, ось, изображающая независимую переменную, изображается горизонтально). Тогда в этой точке производная не существует, хотя геометрически линия гладкая. Аналогичные проблемы возникают и для вектор-функций, если изображать их графики, то есть, независимая переменная тоже изображается.

misha.physics в сообщении #1345555 писал(а):

Someone в сообщении #1345503 писал(а):

ни в одной точке не обращающуюся в $\vec 0$

Значит нужно, чтобы разным значениям $t$ отвечали разные значения $\vec{r}(t)$.

Ну, если функция скалярная, то производная будет сохранять знак, и функция будет строго монотонной. Однако я говорил о вектор-функциях, и там такого ограничения не будет.

misha.physics в сообщении #1345555 писал(а):

То есть, если $t$ --- время, то тело не должно останавливаться. Получается некое ограничение для выполнения условия гладкости функции.

Да. И изображаем не график вектор-функции, а траекторию точки (иногда употребляется термин "годограф"), то есть, отдельной координаты для времени нет. Условие, чтобы вектор производной нигде не обращался в $\vec 0$, нужно для того, чтобы исключить ситуацию, когда тело плавно останавливается, а потом плавно возобновляет движение, но в другом направлении. В результате на траектории возникнет излом (или точка возврата, если новое направление будет противоположно исходному).
И здесь есть эквивалентность в следующем виде: если параметризация траектории гладкая, то траектория тоже гладкая в геометрическом смысле; наоборот, если траектория гладкая в геометрическом смысле, то она имеет гладкую параметризацию.

misha.physics в сообщении #1345555 писал(а):

Someone в сообщении #1345503 писал(а):

График движения будет гладкой линией. График скорости будет непрерывной линией, но не гладкой. График ускорения не является непрерывной линией.

2-е и 3-е понятно. 1-е неочевидно. То есть, что мы можем из двух кусков гладких функций "склеить" (надлежащим образом) одну, и она будет гладкой. Я просто думал, что если какая-то функция, описывающая модель механического движения является гладкой, то все её производные и первообразные тоже будут гладкими.

Ну почему не очевидно? Если функция имеет производную, то она непрерывна. К вектор-функциям это тоже относится. Вот в вашем примере уравнение траектории имеет, допустим, вид

$$y=\begin{cases}x^2\text{ при }x\leqslant 0,\\ 0\text{ при }x>0.\end{cases}$$

Разве здесь не очевидно, что линия непрерывная? При $x=0$ оба выражения дают одно и то же значение $0$.
В качестве параметра можно взять $x$, так что получаем вектор-функцию

$$\vec r=\begin{cases}\{x,x^2\}\text{ при }x\leqslant 0,\\ \{x,0\}\text{ при }x>0.\end{cases}$$

Её производная равна

$$\vec r\,'=\begin{cases}\{1,2x\}\text{ при }x\leqslant 0,\\ \{1,0\}\text{ при }x>0.\end{cases}$$

А вторая производная равна

$$\vec r\,''=\begin{cases}\{0,2\}\text{ при }x\leqslant 0,\\ \{0,0\}\text{ при }x<0.\end{cases}$$

Здесь сама вектор-функция и её первая производная непрерывны, причём, производная нигде не обращается в $\vec 0=\{0,0\}$, поэтому траектория гладкая. Но вторая производная имеет разрыв в точке $x=0$, так что мы имеем гладкую кривую класса $C^1$, но не $C^2$.

[misha.physics]

Someone,

Someone в сообщении #1345630 писал(а):

Тогда в этой точке производная не существует, хотя геометрически линия гладкая.

Да, я уже просто тихонько (никому не сказав) перешел от геометрической гладкости к "аналитической". Прошу прощения. То есть, теперь у меня график гладкий, если изображающая его функция гладкая некоторое число раз -- сама функция непрерывна и имеет непрерывные производные соответствующего порядка включительно.
Тогда здесь:

Someone в сообщении #1345503 писал(а):

Общепринято считать линию гладкой, если у неё в каждой точке есть касательная

можно просто добавить, что касательная не должна быть вертикальной (для скалярной функции одной независимой переменной).

Someone в сообщении #1345630 писал(а):

Аналогичные проблемы возникают и для вектор-функций, если изображать их графики, то есть, независимая переменная тоже изображается.

А как это? Пусть $\vec{r}=\vec{i}x(t)+\vec{j}y(t)$. Тогда что означает "построить график вектор-функции с отображением независимой переменной"? Это типа трехмерная декартовая система координат, по одной оси $t$, а по двум другим $x$ и $y$? Это как бы график функции двух переменных, но "наоборот". То есть, у нас будет не поверхность, а линия. То есть, проблема будет, если некоторый участок этой линии будет перпендикулярен оси $t$, да? Просто мне ещё не приходилось такие графики строить (включаю на компьютере, конечно).

Someone в сообщении #1345630 писал(а):

Ну, если функция скалярная, то производная будет сохранять знак, и функция будет строго монотонной. Однако я говорил о вектор-функциях, и там такого ограничения не будет.

Я запутался. Условие гладкости функции, состоящее в ненулевой первой производной нужно именно для векторных функций, но не для скалярных, да? Как я понимаю, это нужно, чтобы можно было посчитать длину кривой, где под интегралом стоит модуль первой производной.

Someone в сообщении #1345630 писал(а):

И изображаем не график вектор-функции, а траекторию точки (иногда употребляется термин "годограф"), то есть, отдельной координаты для времени нет.

Да я имел ввиду траекторию. Как изобразить график вектор-функции я ещё не знаю (выше уже писал).

Someone в сообщении #1345630 писал(а):

Условие, чтобы вектор производной нигде не обращался в $\vec 0$, нужно для того, чтобы исключить ситуацию, когда тело плавно останавливается, а потом плавно возобновляет движение, но в другом направлении.

Но ведь необязательно, чтобы тело возобновило движение именно в другом направлении, да? Оно ведь может двигаться в одну сторону, остановится, и продолжит движение в начальном направлении. Это мы тоже исключаем. Я догадываюсь, что это делается для того, чтобы можно было найти длину кривой, но если забыть об этом, то даже при нулевой производной вектор-функции в какой-то точке (или интервале) график этой функции будет геометрически гладким. Интересно, почему не будет "просто" гладким в аналитическом смысле (вопрос риторический, я понимаю, что по определению), ведь даже если производная нулевая, то она все же существует.

Someone в сообщении #1345630 писал(а):

Разве здесь не очевидно, что линия непрерывная? При $x=0$ оба выражения дают одно и то же значение $0$.

То, что непрерывна очевидно. Для меня сначала не было очевидно, что она будет гладкой, но после того, как мы раньше выяснили здесь, что в точке "сшивания" функций нужно ещё склеить их производные (до некоторого порядка $n$ включительно), то и полученая склеенная функция будет гладкой (класса глакдкости $C^n$). Теперь очевидно. Просто я раньше не задумывался о функциях, получаемых посредством "склейки" других функций.

-- 12 окт 2018, 00:41 --

На счёт условия $\vec{r}\ '(t)\ne\vec{0}$. Это естественное условие для параметризации кривой. Но если $\vec{r}(t)$ представляет собой радиус-вектор движущейся точки, то понятно, что тело может на некоторое время остановится. Просто мы не сможем тогда найти путь, проходимый телом, посредством интегрирования по $t$. Да и вообще непонятно как записать закон движения тела "одной формулой", если оно останавливается на некотором промежутке времени (а не в одной точке, когда разворачивается).

-- 12 окт 2018, 00:48 --

Собственно,

misha.physics в сообщении #1345640 писал(а):

Просто мы не сможем тогда найти путь, проходимый телом, посредством интегрирования по $t$

потому, что

misha.physics в сообщении #1345640 писал(а):

вообще непонятно как записать закон движения тела "одной формулой", если оно останавливается

[Munin]

Во-первых, просто нет такой цели - записать какую-то функцию "одной формулой". Функций больше, чем формул :-)

А во-вторых, например, для кусочно-заданных функций существуют способы сделать из "несколько формул" - "одну формулу". Например, при помощи тех же тета-функций Хевисайда. $f(x)=x^2\theta(-x)+(x-1)^3\theta(x-1),$ например.

[Someone]

misha.physics в сообщении #1345640 писал(а):

Условие гладкости функции, состоящее в ненулевой первой производной нужно именно для векторных функций, но не для скалярных, да? Как я понимаю, это нужно, чтобы можно было посчитать длину кривой, где под интегралом стоит модуль первой производной.

Нет, не для этого. Обращение производной в ноль не мешает вычислять длину линии, хотя может создавать осложнения. Я же объяснил причину: если не запрещено обращение производной в ноль, то линия может получиться с изломами, несмотря на то, что производная существует и непрерывна. Для скалярной функции обращение производной в ноль тоже может создавать проблемы, так как нарушается локальная обратимость функции (для вектор-функции это тоже актуально).
Вместо того, чтобы гадать, читайте учебник математического анализа.

[misha.physics]

Someone,

Someone в сообщении #1345702 писал(а):

Вместо того, чтобы гадать, читайте учебник математического анализа.

Да, согласен. Спасибо.