Асимптотические доверительные интервалы.Вопрос обоснования

[Markiyan Hirnyk]

GAA:

Отделено из ветки Асимптотические доверительные интервалы

Пожалуйста, количественно уточните

Цитата:

выборка не относится к слишком большой

.

[Andrey_Kireew]

Нужно смотреть, насколько распределение ваших данных отличается от нормального. Если Вы пишите, "не из нормального", видимо на уровне $\alpha=0.05$ эмпирическое распределение значимо отличается от нормального. Если при $\alpha=0.1$ значимых различий уже нет, то использование распределения Стьюдента будет адекватно, для доверительной вероятности 90%. В общем, нужно смотреть, при каком $\alpha$ эмпирическое распределение перестанет значимо отличаться от нормального закона. Если это значение больше 0.2 (P<80%), то распределение Стьюдента для среднего значения выборки нельзя считать адекватным. По крайней мере выглядеть это будет несолидно.

Не нужно пытаться найти ошибку аппроксимации Вашего распределения распределением Стьюдента, это бессмысленно. Ведь ведь истинный закон распределения у Вас не известен, а известна его выборочная оценка, причём полученная по короткой выборке.

[_hum_]

Markiyan Hirnyk
разве это принципиально? Ну, допустим, от 50 до 2000.

Andrey_Kireew

Andrey_Kireew в сообщении #1345556 писал(а):

Если при $\alpha=0.1$ значимых различий уже нет, то использование распределения Стьюдента будет адекватно, для доверительной вероятности 90%.

А можно обоснование? И что значит адекватно? По мне, так Все сказанное Вами относится к "классическому подходу" - типа, просто проверьте каким-нибудь критерием согласия. Но ведь проверка вроде бы никак напрямую не связана с ошибкой в доверительном интервале. Ну, будет у меня p-value проверки 0.05. Ну и что? Как мне оценить, насколько я при этом буду ошибаться в доверительной вероятности построенного доверительного интервала?

[Markiyan Hirnyk]

_hum_

Цитата:

разве это принципиально? Ну, допустим, от 50 до 2000.

Спасибо. Обычно при таком объеме выборки полагают, что выборочное среднее имеет приближенно нормальное распределение в непатологических случаях абсолютно непрерывной генеральной совокупности. Ссылки в доступной мне сейчас литературе (Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика.-М.: ВШ, 1984) не нашел. Попробуйте поискать в Интернете.

[Andrey_Kireew]

Разумеется, t - критерий это и есть классический параметрический подход. Адекватно в том смысле, что истинное распределение среднего Вашей выборки с вероятностью 90% не противоречит распределению Стьюдента, и его можно использовать для построения доверительного интервала. Только тогда, построенный интервал, в 90% случаев будет заключать в себе Ваше выборочное среднее.
А если нет - то построенный доверительный интервал не будет адекватным, т.е. не будет покрывать в 90% случаев выборочное среднее, только и всего. Причём даже неизвестно в какую сторону будет ошибка вверх или вниз.

По поводу того, что распределение среднего, асимптотически стремится к распределению Стьюдента, для произвольного закона распределения, лично для меня новость. Если не затруднит, сообщите откуда Вы взяли это утверждение

[_hum_]

Markiyan Hirnyk
Спасибо, но "обычно" меня как раз и не устраивает, потому как нет никакого обоснования кроме "так все делают".

Andrey_Kireew в сообщении #1345589 писал(а):

По поводу того, что распределение среднего, асимптотически стремится к распределению Стьюдента, для произвольного закона распределения, лично для меня новость. Если не затруднит, сообщите откуда Вы взяли это утверждение

Я такого не говорил. Я говорил, что статистика $T$ из wiki имеет асимптотическое распреление Стьюдента.

[Markiyan Hirnyk]

Andrey_Kireew

Цитата:

По поводу того, что распределение среднего, асимптотически стремится к распределению Стьюдента, для произвольного закона распределения, лично для меня новость. Если не затруднит, сообщите откуда Вы взяли это утверждение

Полагаю, что ваш вопрос адресован мне. Я написал " приближенно нормальное распределение ". См. с. 92, строка 12 и далее в указанной мною книге Ивченко и Медведева, где это иллюстрируется на примере распределения Бернулли. Возможно, книга есть в Интернете, использование ее электронной версии не нарушает авторского права за давностью издания.

[Andrey_Kireew]

_hum_ в сообщении #1345591 писал(а):

Я такого не говорил. Я говорил, что статистика $T$ из wiki
имеет асимптотическое распреление Стьюдента

тогда понятно.

Насколько я помню, t критерий применяется для малых выборок (уж для 50 .. 2000 точно подходит), а асимптотически - распределение Стьюдента стремится к нормальному закону. В таблицах распределения Стьюдента посмотрите максимальное число степеней свободы, для которых они составлены. Это как раз и будет объём выборки, начиная с которого распределение Стьюдента почти перестаёт отличаться от нормального закона. Насколько я помню, это как раз около 2000. Уточните этот момент.

P.S.: Можно конечно постулировать нормальное распределение, как Вам тут советуют. Так часто делают. Но имейте в виду, все полученные в этом случае выводы будут верными лишь до тех пор, пока будет верной Ваша исходная предпосылка.
Так, что если есть возможность, лучше провести тест на нормальность, объём выборки у Вас это сделать позволяет.
Если Вы уже его провели, так как пишите, что закон отличен от нормального, то постулировать нормальность бессмысленно, так как все полученные на этом основании выводы будут заведомо неверны.

[Markiyan Hirnyk]

Andrey_Kireew Нормальное рапределение генеральной совокупности и асимптотически нормальное распределение выборочного среднего для непатологической генеральной совокупности - это разные утверждения.

[Andrey_Kireew]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1345593 писал(а):

Полагаю, что ваш вопрос адресован мне. Я написал " приближенно нормальное распределение ". См. с. 92, строка 12 и далее
в указанной мною книге Ивченко

не поленился почитал, и "выпал в осадок" не понял какое отношение этот текст имеет к оценкам выборочного среднего,
если уж что то утверждаете, то докажите что это действительно так

[Markiyan Hirnyk]

Andrey_Kireew

Цитата:

не понял какое отношение этот текст имеет к оценкам выборочного среднего,
если уж что то утверждаете, то докажите что это действительно так

Повторяю, на цитированных страницах дана интервальная оценка для выборочного среднего выборки из генеральной совокупности - распределения Бернулли - на основании асимптотической нормальности выборочного среднего. Извините, но у нас поздний вечер, так что сейчас не имею возможности продолжать обсуждение.