2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Зависимость меры от заданной топологии (или наоборот )?
Сообщение11.10.2018, 15:01 


05/07/18
79
Пусть на некотором вероятностном пространстве $(\Omega,2^\omega,\mathbb{P})$ ($\Omega=\left\lbrace\omega\right\rbrace$ )с единственным событием задана антидискретная топология. Зависит ли вероятностная мера данного пространства от преобразований над ним?
Пусть на некотором вероятностном пространстве $(\Omega,2^\Omega,\mathbb{P})$ ($\Omega=\left\lbrace\omega_1,...,\omega_n\right\rbrace$) задана дискретная топология. Зависит ли вероятностная мера этого пространства от преобразований над ним?
В какую сторону думать чтобы найти мне ответ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость меры от заданной топологии (или наоборот )?
Сообщение11.10.2018, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2581
Москва
Каких преобразований?
(а еще антидискретная топология на одноэлементном пространстве совпадает с дискретной)

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость меры от заданной топологии (или наоборот )?
Сообщение11.10.2018, 15:08 


05/07/18
79
С топологическими пространствами много чего делать можно . Допустим при гомеоморфизмах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость меры от заданной топологии (или наоборот )?
Сообщение11.10.2018, 15:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2581
Москва
Ну, очевидно что на любом вероятностном пространстве можно задать топологию какую захочется, и она совершенно не обязана быть как-то связана с мерой. В чем вопрос-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость меры от заданной топологии (или наоборот )?
Сообщение11.10.2018, 15:21 


05/07/18
79
То есть ,мера может ,как изменится при преобразовании пространства ,так и остаться неизменной? Вероятностной мера данных пространств не изменится? А если изменится можно ли узнать какой мерой обладает получившееся пространство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость меры от заданной топологии (или наоборот )?
Сообщение11.10.2018, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2581
Москва
Да, может. Довольно странно вводить дополнительные структуры, не требовать никакой согласованности с имеющимися, и надеяться, что получатся нетривиальные утверждения об их взаимодействиях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость меры от заданной топологии (или наоборот )?
Сообщение11.10.2018, 15:34 


05/07/18
79
То есть потребовав хоть какой-нибудь согласованности (какой характер она могла бы носить? ) я мог бы надеяться на что-то более интересное ,чем тривиальные свойства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость меры от заданной топологии (или наоборот )?
Сообщение11.10.2018, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2581
Москва
Из топологии можно построить борелевскую сигма-алгебру, и на ней можно ввести меру. От нее можно потребовать какую-то связь с топологией - например, чтобы она была мерой Радона.
Вообще, если я правильно понял, что вам интересно, есть ли какая-то теория про совмещение топологиии и меры (скажем аналогично совмещению метрики и векторной структуры, приводящей к нормированным векторным пространствам), то так и надо спрашивать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость меры от заданной топологии (или наоборот )?
Сообщение11.10.2018, 17:44 


05/07/18
79
Да Вы поняли меня больше ,чем я себя . Насчет теории : какие книги посоветуете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость меры от заданной топологии (или наоборот )?
Сообщение12.10.2018, 14:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
695
матмех спбгу
Если есть измеримое отображение $f \colon X \to Y$ и на $X$ есть мера $\mu$, то естественным образом
эта мера переносится на $Y$ и ее обозначают $f_{*}\mu$, где $(f_{*}\mu) (A):=\mu(f^{-1}(A))$. Но конечно на $Y$ могла быть любая другая мера $\nu$, которая никак не связана с $f_{*}\mu$.

Если рассмотреть случай $f \colon X \to X$, то можно задаться вопросом поиска инвариантных мер для данного преобразования $f$, т. е. таких, что $\mu = f_{*}\mu$. Вот инвариантные меры это как раз те, которые сохраняются при преобразованиях пространства $X$ данным отображением $f$. Наука эта называется "Эргодическая теория динамических систем". В частности, существование инвариантной меры (теорема Крылова-Боголюбова) доказывается для непрерывного $f$ и компактного $X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зависимость меры от заданной топологии (или наоборот )?
Сообщение12.10.2018, 18:38 


05/07/18
79
Благодарю за помощь .

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group