Зависимость меры от заданной топологии (или наоборот )?

[Ioda]

Пусть на некотором вероятностном пространстве $(\Omega,2^\omega,\mathbb{P})$ ($\Omega=\left\lbrace\omega\right\rbrace$ )с единственным событием задана антидискретная топология. Зависит ли вероятностная мера данного пространства от преобразований над ним?
Пусть на некотором вероятностном пространстве $(\Omega,2^\Omega,\mathbb{P})$ ($\Omega=\left\lbrace\omega_1,...,\omega_n\right\rbrace$) задана дискретная топология. Зависит ли вероятностная мера этого пространства от преобразований над ним?
В какую сторону думать чтобы найти мне ответ?

[mihaild]

Каких преобразований?
(а еще антидискретная топология на одноэлементном пространстве совпадает с дискретной)

[Ioda]

С топологическими пространствами много чего делать можно . Допустим при гомеоморфизмах.

[mihaild]

Ну, очевидно что на любом вероятностном пространстве можно задать топологию какую захочется, и она совершенно не обязана быть как-то связана с мерой. В чем вопрос-то?

[Ioda]

То есть ,мера может ,как изменится при преобразовании пространства ,так и остаться неизменной? Вероятностной мера данных пространств не изменится? А если изменится можно ли узнать какой мерой обладает получившееся пространство?

[mihaild]

Да, может. Довольно странно вводить дополнительные структуры, не требовать никакой согласованности с имеющимися, и надеяться, что получатся нетривиальные утверждения об их взаимодействиях.

[Ioda]

То есть потребовав хоть какой-нибудь согласованности (какой характер она могла бы носить? ) я мог бы надеяться на что-то более интересное ,чем тривиальные свойства?

[mihaild]

Из топологии можно построить борелевскую сигма-алгебру, и на ней можно ввести меру. От нее можно потребовать какую-то связь с топологией - например, чтобы она была мерой Радона.
Вообще, если я правильно понял, что вам интересно, есть ли какая-то теория про совмещение топологиии и меры (скажем аналогично совмещению метрики и векторной структуры, приводящей к нормированным векторным пространствам), то так и надо спрашивать.

[Ioda]

Да Вы поняли меня больше ,чем я себя . Насчет теории : какие книги посоветуете?

[demolishka]

Если есть измеримое отображение $f \colon X \to Y$ и на $X$ есть мера $\mu$, то естественным образом
эта мера переносится на $Y$ и ее обозначают $f_{*}\mu$, где $(f_{*}\mu) (A):=\mu(f^{-1}(A))$. Но конечно на $Y$ могла быть любая другая мера $\nu$, которая никак не связана с $f_{*}\mu$.

Если рассмотреть случай $f \colon X \to X$, то можно задаться вопросом поиска инвариантных мер для данного преобразования $f$, т. е. таких, что $\mu = f_{*}\mu$. Вот инвариантные меры это как раз те, которые сохраняются при преобразованиях пространства $X$ данным отображением $f$. Наука эта называется "Эргодическая теория динамических систем". В частности, существование инвариантной меры (теорема Крылова-Боголюбова) доказывается для непрерывного $f$ и компактного $X$.

[Ioda]

Благодарю за помощь .