Выкидывание планеты

[fred1996]

Пусть у нас есть звезда массы $M$ и две планеты с одинаковыми массами $m<<M$
Они вращаются вокруг звезды "достаточно далеко" по круговым орбитам радиуса $r$ и $r+\Delta r$.
Неважно, как случилась такая конфигурация в прошлом. Важно что при приближении одной планеты к другой их взаимное влияние может быть таким, что одну планету вышвырнет из звездной сисиемы. Для каких $\Delta r$ это в принципе возможно?

[pogulyat_vyshel]

Ну, ведь, понятно, что под решением подразумеваются какие-то нестрогие рассуждения. Когда задачу можно решить строго то все ясно -- либо решил, либо нет. А тут что? Угадывать, что автор считает решением?

[amon]

Видимо, можно так переформулировать: найти как можно больше необходимых условий для такой возможности.

[fred1996]

У этой задачки, которую на мой взгляд можно приближенно решить аналитически, а потом пере формулировать в более корректном виде, есть небольная предыстория.
Как я уже писал на форуме, моя дочка сейчас учится в аспирантуре и занимается астрофизикой. Сейчас конкретно моделирует эволюцию планетарных систем для различных звезд на базе суперкомпьютеров. Например возможен сценарий выкидывания одних планет другими из нашей солнечной системы на ранних этапах эволюции. Но я всегда считал, что малые тела невозможно выкинуть таким образом. На что она мне прислала статью на тему о Gravity (Gravitational) Assist. Оказывается Пионер 10, который американцы запустили в марте 1972 года, изначально был запущен по эллиптической орбите вокруг Солнца, но с таким расчетом, что он пересечется с траекторией Юпитера на достаточно близком расстоянии и будет им вышвырнут уже на гиперболическую траекторию. А первый раз такой маневр был использован советским аппаратом Луна 3 еще в 1959 году. Мне всегда казалось, что для малых тел это невозможно из-за закона сохранения энергии. Поскольку в результате Юпитер совершит бесконечно малую работу. Ведь наш аппарат никак не влияет на орбиту Юпитера. Оказалось что это не так. Что работа весьма конечна. Что и позволило американцам сделать такой трюк без использования горючего. Если интересно, я могу выложить здесть ссылку на эту статью.
А это просто ссылка на историю использования этого эффекта:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gravity_assist
В двух словах это выглядит так. Если в какой то системе отсчета мы бросим теннисный мяч со скоростью $v$ навстречу массивной стенке, движущейся со скоростью $v_0$, то он отскочит от стенки с дополнительной скоростью $2v_0$.
В случае взаимодействия космического аппарата с Юпитером мы можем его запустить перпендикулярно движению Юпитера в системе отсчета Солнца. В системе же отсчета Юпитера аппарат можно запустить так, что он в результате изменит траекторию на 90 градусов. При этом в системе Юпитрера начальная и конечная скорость аппарата останутся одинаковыми по модулю, а в системе солнца произойдет изменение этой скорости как например в случае с теннисным шариком.
Можно эту скорость величить, а можно уменьшить в зависимости от ориентации процесса в системе отсчета солнца. Я бы мог поместить эту тему в разделе Свободного полета (Оказывается нет), но видимо эта тема более близка физикам.
По крайней мере дочка развеяла мои многолетние заблуждения на эту тему.

[Dmitriy40]

Зачем какие-то статьи если это достаточно известный и наверняка описанный в учебниках Гравитационный маневр (да, в английской информации больше)? Что в нём такого сложного для понимания? Разве что для человека ну совсем незнакомого с астрономией и законах орбитального движения.
Вот подобрать начальные условия для выкидывания планеты - да, это сложно и может быть интересно.

[fred1996]

Dmitriy40
Вот я и предложил на мой взгляд интересную задачку в заглавном посте. Осталное - это просто пояснения человека, слабо разбирающегося в астрономии, но неплохо в физике.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1344897 писал(а):

Важно что при приближении одной планеты к другой их взаимное влияние может быть таким, что одну планету вышвырнет из звездной сисиемы. Для каких $\Delta r$ это в принципе возможно?

Думаю, что для любых, но особую важность приобретают такие $\Delta r$, что периоды обращений входят в резонанс. Тогда это вопрос времени: упадут на солнце обе, упадет одна, а вторая улетит, одна улетит а вторая останется на орбите. Никто не знает сколько времени осталось планетам солнечной системы не сталкиваться и не повыкидывать друг друга. Но сходятся на том, что на наш век точно хватит.
Википедия, статья про устойчивость солнечной системы.:

Цитата:

Для внутренних планет численные расчеты дают хаотичность их положения на орбите. Кроме того, особой проблемой является Меркурий, который, резонансно взаимодействуя с Юпитером, может существенно изменять свою орбиту. В одном из последних исследований[4] моделирование проводилось на интервале времени порядка миллиардов лет и рассчитывалось 2500 вариантов с орбитой Меркурия, изменяющейся с шагом 0,38 мм (в настоящий момент погрешность её измерений порядка метров). Среди этих вариантов обнаружено 20 решений, где орбита Меркурия приобретает достаточный эксцентриситет для пересечения орбит Венеры, Земли и Марса. Среди этих орбит есть такие, что Меркурий падает на Солнце, сталкивается с другими внутренними планетами, либо дестабилизирует их орбиты так, что они сами сталкиваются друг с другом.

Казалось бы, где Меркурий и где Юпитер...

[Munin]

fred1996 в сообщении #1345166 писал(а):

Осталное - это просто пояснения человека, слабо разбирающегося в астрономии, но неплохо в физике.

С учётом

fred1996 в сообщении #1345160 писал(а):

Но я всегда считал, что малые тела невозможно выкинуть таким образом.

fred1996 в сообщении #1345160 писал(а):

Мне всегда казалось, что для малых тел это невозможно из-за закона сохранения энергии. Поскольку в результате Юпитер совершит бесконечно малую работу.

это как-то и физически... мягко скажем, очень непродуманно. Как будто вы занимались этой задачей не больше пяти минут в далёком школьном возрасте.

[fred1996]

Munin
В далеком школьном возрасте я вообще не занимался такими задачами.
Мы тут обсуждаем задачу из заглавного поста или мои астрономические заблуждения? Я всего лишь дал пояснения, как им образом появилась эта задачка в малоразвитом отделе астрономии моего головного мозга. Тем более в спинном мозгу на эту тему вообще ничего не ситдит, в отличие от корифеев астрономии.

Вы знаете, на самом деле это ведь весьма распространенное заблуждение физиков что "из-за закона сохранения энергии такой маневр невозможен"
Примерный ход мысли такой, что вот есть солнце, есть Юпитер. Есть потенциальная энергия тела связанная с этими обьектами. А то что в этой системе Юпитер сам движется, и это кардинально все меняет, сразу не приходит в голову. Ну по крайней мере мне.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1345175 писал(а):

Примерный ход мысли такой, что вот есть солнце, есть Юпитер. Есть потенциальная энергия тела связанная с этими обьектами. А то что в этой системе Юпитер сам движется, и это кардинально все меняет, сразу не приходит в голову. Ну по крайней мере мне.

Странно что вам сведения про гравитационный маневр не попадались раньше, ведь к планетам в общем-то так и летают... Я вот как дилетант в физике, читая научпоп Хокинга, Торна и т.п., наталкиваюсь на это в общем-то в практически в каждой первой книжке где так или иначе речь идет о космических полетах. Да и в художественных фильмах это попадается, вот например в "Марсианин", "Интерстеллар" :)

[fred1996]

wrest
Мое личное заблуждение сводилось к тому, что я считал, что гравитационный маневр происходит вблизи планеты с максимально включенными двигателями.
Что позволяет увеличить кинетическую энергию аппарата за счет оставления части топлива в потенциальной яме планеты. То есть у меня было собственное обьяснение этого эффекта, а в детали я не вникал. Ну и потом у меня был весьма значительный перерыв в занятиях физикой. Около 20 лет. В таких случаях постоянно натыкаешся на какие-то застарелые заблуждения, которые не удосужился развеять.
Кстати сказать, конечно про гравитационный маневр многия слышали и даже "знают" в чем там фишка. Вот мол приближаемся к планете, а она потом "вышвыривает". А когда задаешь элементарный вопрос, как это может быть, если есть закон сохранения энергии, тут в глазах собеседника появляется ступор. Потому как детально то огромное большиство слышавших об этом эффекте не разбиралось.

[Munin]

fred1996 в сообщении #1345175 писал(а):

Мы тут обсуждаем задачу из заглавного поста или мои астрономические заблуждения?

Задача из заглавного поста весьма ill-posed, как тут уже заметили. Я бы её отослал вам обратно на коренную переработку. (В ходе которой вам стоило бы и в теме подразобраться.) Она сильно нарушает планку того, что можно было бы называть "олимпиадными задачами", в том числе и в сравнении с другими задачами от вас же, по другим разделам физики.

fred1996 в сообщении #1345175 писал(а):

Тем более в спинном мозгу на эту тему вообще ничего не ситдит, в отличие от корифеев астрономии.

Советую загрузить в него хотя бы законы Кеплера (включая параболическое и гиперболическое движение). По сути, для этой задачи ничего больше не надо. (Но захотите углубиться - есть хороший параграф в Ландау-Лифшице про центробежный потенциал; есть задача расчёта вековых поправок от влияния одной планеты на другую.)

fred1996 в сообщении #1345175 писал(а):

Вы знаете, на самом деле это ведь весьма распространенное заблуждение физиков что "из-за закона сохранения энергии такой маневр невозможен".
Примерный ход мысли такой, что вот есть Солнце, есть Юпитер. Есть потенциальная энергия тела связанная с этими обьектами. А то что в этой системе Юпитер сам движется, и это кардинально все меняет, сразу не приходит в голову. Ну по крайней мере мне.

Ага. Тут надо представить себе вот что. Сначала мы в СО Солнца, и движемся по отношению к нему по кеплеровскому эллипсу. А потом внезапно из-за угла такой Юпитер, и мы переходим в СО Юпитера. (Раньше были слишком далеко.) В ней мы движемся по отношению к нему по другой кеплеровской орбите, и в том числе, может быть, по гиперболе. То есть, рассеиваемся на центре с сохранением энергии (а как же!), но меняем направление движения. Отлетаем подальше, отдышались, и смотрим опять в СО Солнца. А тут мы получили к скорости добавку, которая может нашу энергию изменить. Примерно как упругое столкновение с движущейся стенкой: стенке пофиг, а нас она ускорила.

[worm2]

Можно ещё проще представить. Что мы летим по гиперболе, в одном из фокусов которого находится Юпитер, но делаем вид, что его нет, зато в другом фокусе находится антигравитирующий анти-Юпитер, который нас отталкивает, как бильярдный шарик. Сразу можно прикинуть, какой максимальной прибавки в скорости можно достичь в идеале.

[Munin]

worm2
А закон площадей как же?

[Geen]

worm2 в сообщении #1345216 писал(а):

Сразу можно прикинуть, какой максимальной прибавки в скорости можно достичь в идеале.

Если не учитывать размер самого Юпитера (берём точечный Юпитер в вакууме), то его удвоенную орбитальную скорость... разве нет?