Новый подход к Теореме Ферма

[Алексей К.]

Немного лучше. Сам предложить готовый код, типа

$$\begin{array}{rcl} X^n + Y^n &=& (a_{n - 1} + b_{n - 1} ) \cdot Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} ) \cdot Z^{n - 2} + ... \\ &&+ (a_3 + b_3 ) \cdot Z^3 + (a_2 + b_2 ) \cdot Z^2 + (a_1 + b_1 ) \cdot Z^1 + (a_0 + b_0 ) \cdot Z^0 \ne \\ & \ne & (a_{n - 1} + b_{n - 1} ) \cdot Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} ) \cdot Z^{n - 2} + ... + (a_3 + b_3 ) \cdot Z^3 + Z^3 = \\ &=&(Z - 1) \cdot Z^{n - 1} + (Z - 1) \cdot Z^{n - 2} + ... + (Z - 1) \cdot Z^3 + Z^3 = Z^{^n } \end{array}\qquad(36) $$

сразу не догадался... Ну и авторские bulletы не смог сохранить, а это уже самоуправство.

[fon valery]

Уважаемый PAV!

В назидание ферматистам настоящим и будущим, придерживаясь любезно предложенной Вами форме, алгоритмически изложу суть доказательства.


1. ПРЕДПОЛОЖИМ, что существуют взаимно простые натуральные числа X, Y, Z, для которых при

\[ n \geqslant 4 \]

выполняется равенство

\[ X^n + Y^n = Z^n (1) \]

2. Переведём левую и правую части предполагаемого равенства (1) в позиционную систему счисления по основанию Z. Из сопоставления Z-ричной левой и правой части делаем вывод о том, что

\[ \begin{gathered} X^n = a_{n - 1} Z^{n - 1} + ... + a_2 Z^2 + a_1 Z^1 + a_0 (2) \hfill \\ Y^n = b_{n - 1} Z^{n - 1} + ... + b_2 Z^2 + b_1 Z^1 + b_0 (3) \hfill \\ \end{gathered} \]

где

\[ 0 \leqslant a_i < Z \]

и

\[ 0 \leqslant b_i < Z. \]

3. Доказываем, что для выполнения равенства (1) необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:

\[ a_0 + b_0 = Z,a_1 + b_1 = a_2 + b_2 = ... = Z - 1(4) \]

4. Левая часть предполагаемого равенства (1) после подстановки в неё вместо

\[ X^n \]

и

\[ Y^n \]

их значений из (2) и (3)
запишется так:

\[ X^n + Y^n = (a_{n - 1} + b_{n - 1} )Z^{n - 1} + ... + (a_3 + b_3 )Z^3 + (a_2 + b_2 )Z^2 + (a_1 + b_1 )Z^1 + a_0 + b_0 (5) \]

5. Убеждаемся в том, что из предположения выполнения равенства (1) с учётом соотношений (4) должно выполняться такое равенство:

\[ (a_2 + b_2 )Z^2 + (a_1 + b_1 )Z^1 + a_0 + b_0 = Z^3 (6) \]

6. Ссылаясь на Л.Эйлера, обращаемся к неравенству

\[ X_1 ^3 + Y_1 ^3 \ne Z_1 ^3 ,(7) \]

из которого следует, что ни для какого наперёд заданного целого числа

\[ Z_1 \]

(в том числе и для некоторого целого числа Z) не существует пары целых чисел

\[ X_1 \]

и

\[ Y_1 , \]

удовлетворяющих равенству:

\[ X_1 ^3 + Y_1 ^3 = Z_1 ^3 \]

. Поэтому можем записать, что

\[ X_1 ^3 + Y_1 ^3 \ne Z^3 (8) \]

При этом совместно не могут выполняться равенства

\[ \begin{gathered} X_1 ^3 = c_2 Z^2 + c_1 Z^1 + c_0 \hfill \\ Y_1 ^3 = d_2 Z^2 + d_1 Z^1 + d_0 , \hfill \\ \end{gathered} \]

так как в противном случае при

\[ c_2 + d_2 = Z - 1,c_1 + d_1 = Z - 1,c_0 + d_0 = Z \]

было бы получено равенство, противоречащее доказательству Л.Эйлера.

7. Выполняется неравенство

\[ (c_2 + d_2 )Z^2 + (c_1 + d_1 )Z^1 + c_0 + d_0 \ne Z^3 \]

(9)

8. Выполняется неравенство

\[ X_1 ^3 + Y_1 ^3 \ne (c_2 + d_2 )Z^2 + (c_1 + d_1 )Z^1 + c_0 + d_0 \]

Его выполнение обеспечивается при ЛЮБЫХ целочисленных значениях

\[ c_2 ,c_1 ,c_0 \]

и

\[ d_2 ,d_1 ,d_0 , \]

удовлетворяющих соотношениям

\[ c_0 + d_0 = Z,c_1 + d_1 = Z - 1,c_2 + d_2 = Z - 1 \]

,
в том числе и при таких значениях:

\[ c_0 + d_0 = a_0 + b_0 = Z,c_1 + d_1 = a_1 + b_1 = Z - 1,c_2 + d_2 = a_2 + b_2 = Z - 1(10) \]

9. С учётом соотношений (10) неравенство (9) запишется так:

\[ (a_2 + b_2 )Z^2 + (a_1 + b_1 )Z^1 + a_0 + b_0 \ne Z^3 (11) \]

10. Сравнивая выражения (6) и (11), замечаем противоречие! Следовательно, равенство (6), вытекающее из предположения выполнения равенства (1), НЕ выполнимо и имеет место неравенство (11).

11. Учитывая неравенство (11), запишем выражение (5) следующим образом:

\[ \begin{gathered} X^n + Y^n = (a_{n - 1} + b_{n - 1} )Z^{n - 1} + ... + (a_3 + b_3 )Z^3 + (a_2 + b_2 )Z^2 + (a_1 + b_1 )Z^1 + a_0 + b_0 \ne \hfill \\ \ne (a_{n - 1} + b_{n - 1} )Z^{n - 1} + ... + (a_3 + b_3 )Z^3 + Z^3 = (Z - 1)Z^{n - 1} + ... + (Z - 1)Z^3 + Z^3 = Z^n \hfill \\ \end{gathered} \]

.

Из чего следует, что

\[ X^n + Y^n \ne Z^n . \]

12. ВЫВОД: начиная с целого n, не меньшего 3, не существует троек целых взаимно простых чисел X, Y, Z, удовлетворяющих равенству

\[ X^n + Y^n = Z^n \]

P.S. Уважаемый PAV! Теперь отвечу на вопросы из последнего Вашего сообщения.
1) "Почему нельзя аналогичным образом разложить по степеням Z величину f(x,n) и оставить всю остальную часть рассуждений без изменения?..." В начале доказательства я показал, почему и как можно представить

\[ X^n \]

и

\[Y^n \]

разложением по степеням Z. Задайте мне конкретный вид этой функции f(x,n) и я скажу Вам, почему нельзя аналогичным образом разложить её по степеням Z!
2) О Вашем контрпримере...Он НЕ работает потому, что распространяется на ту часть доказательства, где уже получено противоречие!

Теперь мои заметки. Снисходительно воспринимаю Ваши выпады по поводу параллелей с ферматистами. Не стану обращать Ваше внимание и на те отдельные неточности, которые содержатся в Вашем последнем сообщении (у кого их нет!). Главное - ПРИЗНАТЕЛЕН Вам за то, что своим опонированием (порой, излишне жёстким!) Вы помогли мне выстроить ход рассуждений, избавляющий от второстепенных ненужных детализаций, за которыми часто терялась суть доказательства.
С уважением к Вам,
fon valery.

[PAV]

Вам обязательно использовать новые числа $X_1$ и $Y_1$? Нельзя ли вести все доказательство в терминах имеющихся чисел $X$ и $Y$?

Мне не нравится формулировка

fon valery писал(а):

При этом совместно не могут выполняться равенства

$$ \begin{gathered} X_1 ^3 = c_2 Z^2 + c_1 Z^1 + c_0 \hfill \\ Y_1 ^3 = d_2 Z^2 + d_1 Z^1 + d_0 , \hfill \\ \end{gathered}$$

так как в противном случае при $c_2 + d_2 = Z - 1,c_1 + d_1 = Z - 1,c_0 + d_0 = Z $
было бы получено равенство, противоречащее доказательству Л.Эйлера.

Какие именно равенства не могут выполняться совместно? Если взять только первые два, то они замечательно могут выполняться совместно (фактически, это определение коэффициентов $c$ и $d$). Я соглашусь только с тем, что все пять указанных равенств не могут выполняться совместно. Вы согласны с таким уточнением?

[TOTAL]

fon valery писал(а):

При этом совместно не могут выполняться равенства

\[ \begin{gathered} X_1 ^3 = c_2 Z^2 + c_1 Z^1 + c_0 \hfill \\ Y_1 ^3 = d_2 Z^2 + d_1 Z^1 + d_0 , \hfill \\ \end{gathered} \]

Эти равенства выполняются при подходящих (которые всегда найдутся) значениях коэффициентов.

[Yarkin]

fon valery писал(а):

12. ВЫВОД: начиная с целого n, не меньшего 3, не существует троек целых взаимно простых чисел X, Y, Z, удовлетворяющих равенству

\[ X^n + Y^n = Z^n \]

Вам осталось $n$ перевести в систему исчисления по основанию $Z$ и передоказать соотношение Л. Эйлера в этой же системе.

[Алексей К.]

PAV писал(а):

2. Разложим $X^n$ и $Y^n$ по степеням $Z$ и обозначаем соответствующие коэффициенты буквами $a$ и $b$:
$X^n=a_{n-1}Z^{n-1}+\cdots+a_2Z^2+a_1Z+a_0$ (2)
$Y^n=b_{n-1}Z^{n-1}+\cdots+b_2Z^2+b_1Z+b_0$ (3)
где $0\le a_i<Z$ и $0\le b_i<Z$.

((PAV) Разумеется, никто не запрещает раскладывать одни числа по степеням других. Эти формулы верны по определению, так как являются определениями коэффициентов $a$ и $b$).

fon valery писал(а):

2. Переведём левую и правую части предполагаемого равенства (1) в позиционную систему счисления по основанию Z. Из сопоставления Z-ричной левой и правой части делаем вывод о том, что

\[ \begin{gathered} X^n = a_{n - 1} Z^{n - 1} + ... + a_2 Z^2 + a_1 Z^1 + a_0 (2) \hfill \\ Y^n = b_{n - 1} Z^{n - 1} + ... + b_2 Z^2 + b_1 Z^1 + b_0 (3) \hfill \\ \end{gathered} \]

где

\[ 0 \leqslant a_i < Z \]

и

\[ 0 \leqslant b_i < Z. \]

Так всё-таки --- (2) и (3) это логический вывод, или просто принятие обозначений?
(Кстати, принято писать $Z$-ичная, а не $Z$-Ричная система счисления).

[TOTAL]

fon valery писал(а):

2. Переведём левую и правую части предполагаемого равенства (1) в позиционную систему счисления по основанию Z. Из сопоставления Z-ричной левой и правой части делаем вывод о том, что

$$ \begin{gathered} X^n = a_{n - 1} Z^{n - 1} + ... + a_2 Z^2 + a_1 Z^1 + a_0 (2) \hfill \\ Y^n = b_{n - 1} Z^{n - 1} + ... + b_2 Z^2 + b_1 Z^1 + b_0 (3) \hfill \\ \end{gathered} $$

..................
Вы помогли мне выстроить ход рассуждений, избавляющий от второстепенных ненужных детализаций, за которыми часто терялась суть доказательства.

Докажите, что $(a_2 Z^2 + a_1 Z^1 + a_0)$ и $(b_2 Z^2 + b_1 Z^1 + b_0)$ являются кубами. Догадываетесь, для чего это надо?
Или докажите, что $(a_2 Z^2 + a_1 Z^1 + a_0) + (b_2 Z^2 + b_1 Z^1 + b_0)$ -- это сумма двух кубов.

[MGM]

TOTAL писал(а):

fon valery писал(а):

2. Переведём левую и правую части предполагаемого равенства (1) в позиционную систему счисления по основанию Z. Из сопоставления Z-ричной левой и правой части делаем вывод о том, что

$$ \begin{gathered} X^n = a_{n - 1} Z^{n - 1} + ... + a_2 Z^2 + a_1 Z^1 + a_0 (2) \hfill \\ Y^n = b_{n - 1} Z^{n - 1} + ... + b_2 Z^2 + b_1 Z^1 + b_0 (3) \hfill \\ \end{gathered} $$

..................
Вы помогли мне выстроить ход рассуждений, избавляющий от второстепенных ненужных детализаций, за которыми часто терялась суть доказательства.

Докажите, что $(a_2 Z^2 + a_1 Z^1 + a_0)$ и $(b_2 Z^2 + b_1 Z^1 + b_0)$ являются кубами. Догадываетесь, для чего это надо?
Или докажите, что $(a_2 Z^2 + a_1 Z^1 + a_0) + (b_2 Z^2 + b_1 Z^1 + b_0)$ -- это сумма двух кубов.

Это следует из 4. Только вот я пропустил, где автор доказал утверждение 4.

[PAV]

MGM в сообщении #134746 писал(а):

Это следует из 4. Только вот я пропустил, где автор доказал утверждение 4.

Не следует.

[TOTAL]

MGM писал(а):

Это следует из 4.

Это не следует из 4.

[MGM]

TOTAL писал(а):

MGM писал(а):

Это следует из 4.

Это не следует из 4.

Да, правда, глюк какой-то в голове.

[PAV]

PAV:

Тема закрывается в связи с блокировкой автора за намеренную двойную регистрацию