Оценить вероятность (теорема Бернулли, закон больших чисел)

[Ktina]

Задача из учебника, из параграфа №13: Закон больших чисел.

В урне 50 белых и 75 чёрных шаров, других шаров нет.
Вынули с возвращением 100 шаров.
Оценить снизу вероятность того, что число $m$ извлечённых при этом белых шаров удовлетворяет двойному неравенству

$$35 < m < 45.$$

В учебнике не конкретизируется, какая именно оценка снизу имеется в виду, однако теорема Бернулли, помещённая перед этой задачей, позволяет предположить, что:
Под оценкой снизу, судя по всему, подразумевается применение теоремы Бернулли, гласящей, что при неограниченном увеличении числа испытаний частота случайного события сходится по вероятности к вероятности события.

У меня получилось так:

$$P\left (\left |\dfrac{m}{100}-\dfrac{2}{5}\right |<\dfrac{1}{20}\right )>1-\left |\dfrac{\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{3}{5}}{100\cdot\dfrac{1}{400}}\right |=\dfrac{1}{25}$$

, то есть, всего 4 процента?! Почему так мало? И насколько точна эта оценка? А может, у меня ошибка?

[hund]

Мало. Интервал самый популярный для соотношения шаров.
Посчитал численно до 10 млн. попыток, получилось 64,1662% успехов.

[Yadryara]

А теоретическая вероятность для такого диапазона $m$ составляет $\approx 0.64163$.

Так что ошибка именно у Вас, Ktina, ищите. Чему, например, равна вероятность того, что $m=36$?

[hund]

Yadryara в сообщении #1344756 писал(а):

вероятность того, что $m=36$?

Выборка с возвращением. Потому обычная комбинаторика по $C_n^k$ не работает.
Итак, всего для 36 белых шаров мы имеем $50^{36}\cdot 75^{64}$ наборов. Полная же группа событий составляет $125^{100}$.
Т.е. надо просуммировать все варианты от 36 до 44 и разделить на полную группу?

[Yadryara]

hund, мы же в ПР/Р.

Я знаю как посчитать, могу ответить Вам в ЛС. Но говорить прилюдно не имею права, ибо там уже до полного решения рукой подать.

[mihaild]

Вы бы написали, как получили оценку. Она, конечно, правильная (т.к. вероятность действительно больше $\frac{1}{25}$), но неизвестно, откуда вы ее взяли, и правильно ли вы ее посчитали тем способом, которым считали.

[Yadryara]

mihaild, это ко мне вопрос?

[mihaild]

К ТС, конечно. Как конкретно вы получили точный ответ - не знаю, но как его получить - понятно (при условии, что у вас правильный - я не проверял).

[hund]

Добавлю к своему расчёту: надо учесть, что в полной группе событий не учитываются перестановки внутри всей группы, а в вариантах с конкретным числом шаров - внутри каждого цвета.
Excel такие числа считает.

[GAA]

Обозначим через $p$ вероятность вынуть белый шар [в одном испытании] ( $p=2/5$, $q=1-p=3/5$). $\mathsf E m = np = 40$, $\mathsf D m = npq = 24$, $\sigma = 2 \sqrt 6$.
Вероятность искомого события

$\mathsf P \{ 34 \le m \le 44\} = \mathsf P \{ -4 \le m-40 \le 4\} = 1 - \mathsf P\{ |m-\mathsf E m| > 4\}.$

Для оценки сверху $\mathsf P\{ |m-\mathsf E m| > 4\}$ (а, следовательно, снизу искомой вероятности) Вы применяете неравенство Бьенеме — Чебышёва

$\mathsf P \{ | m - \mathsf E m| > x \} \le \frac {\mathsf D m} {x^2}.$

Это неравенство формулируется для очень широкого класса случайных величин. Оно позволяет получить большее, чем вероятность меньше или равна 1, если $\mathsf D m < x^2$. В данном случае у меня этого нет. Следовательно, для искомой вероятности ничего более, чем «больше или равна 0» оно не даёт. (Если в цифрах не напутал, проверьте, пожалуйста).

Неравенство Кантелли тоже «ничего не добавляет».
Неравенство Высочанского — Петунина (Высочанский Д.Ф., Петунин Ю.И. Об одном неравенстве гаусса для одновершинных распределений. // Теория вероятн. и ее примен., 27 (1982) N 2, С. 339–341) просто не применимо, поскольку (как я подсчитал, пожалуйста, проверьте) не выполняется условие $k > \sqrt 3$.

Какой материал к моменту решения задачи изложен в учебнике, Вы, Ktina не указали. Для студентов математических факультетов в качестве примера в теме «Неравенства типа Чебышева» иногда приводят приложение экспоненциального неравенства к сумме независимых и одинаково распределенных бернуллиевских случайных величин. Для студентов других специальностей рассматривают упражнения в духе стартового в теме ЦПТ.

-- Wed 10.10.2018 08:25:04 --

Если рассматривать, как в начальном сообщении, в качестве случайной величины $m/n$, то оценка улучшается, но все равно остаётся слабой.

[Ktina]

GAA
Большое спасибо!

[Yadryara]

GAA в сообщении #1345067 писал(а):

Вы применяете неравенство Бьенеме — Чебышёва $\mathsf P \{ | m - \mathsf E m| > x \} \le \frac {\mathsf D m} {x^2}.$

Чуток ошиблись. $\mathsf P \{ | m - \mathsf E m| \geqslant x \} \leqslant \frac {\mathsf D m} {x^2}.$

Заменив $x$ на $5$ и вычисляя дальше по этой формуле как раз и получим те самые 4%, что в стартовом посте. Что, конечно, очень далеко от 64%.

Ну и выше в формуле не $34$, а $36$.

[wrest]

Вот вам код на PARI/GP, с численным моделированием, для проверки ваших вычислений.

(Оффтоп)

Функция ball принимает на вход два числа -- количество белых и черных шаров в урне. Возвращает цвет вынутого шара в виде строки "white" или "black"

ball(black,white)=my(s=black+white,n);n=random(s)+1;if(n>black,return("white"),return("black"))

Функция test_m принимает на вход три числа: сколько шаров вынуть (возврат после каждого вынимания), сколько в урне белых, сколько черных. Возвращает количество вынутых белых.

test_m(n,black,white)=my(s=0);for(i=1,n,if(ball(black,white)=="white",s=s+1));return(s)

Функция test_series принимает на вход 6 чисел: n - сколько провести испытаний, balls - сколько вынимать шаров при каждом испытании, white - сколько в урне белых шаров, black -- сколько в урне черных шаров, одно испытание успешно если белых вытянуто больше чем m_min но меньше чем m_max. Возвращает долю успешных испытаний.

test_series(n,balls,black,white,m_min,m_max)=my(s=0,m=0);for(i=1,n,m=test_m(balls,black,white);if(m>m_min,if(m<m_max,s=s+1)));return(s/n+0.)

Запуск миллиона испытаний:
? test_series(10^6,100,75,50,35,45)
%1 = 0.64090700000000000000000000000000000000
? ##
*** last result computed in 4min, 8,760 ms.

Таким образом подтверждаю, что искомая вами вероятность около $64,1$%

[GAA]

Yadryara, спасибо! Наспех набирал (а потом формулы редактировал.)
Но увы все равно неравенство Высочанского — Петунина непосредственно не применить.

wrest, не надо код для приближённого нахождения искомой вероятности. Тем более генерацию выборок. Yadryara уже привел более точное приближенное значение. И это приближенное значение можно найти хоть со ста верными цифрами. Тема не об этом.