Полет космического аппарата в зоне действия гравитации звезд

[fred1996]

Давно вертится в голове следующая задачка. Пусть у нас есть одинокая звезда массы $M$. Вокруг нее по круговой орбите на расстоянии $R$ вращатся космический аппарат чистой массы $m_0$ без топлива.
Пусть этот космический аппарат снабжен только маломощным ионно-плазменным двигателем, который может выбрасывать "плазменное топливо" с постоянной скоростью $V_0$ в любом направлении. Максимальная скорость расхода топлива "очень небольшая" и равна $\frac{dm}{dt}=b$. Какое минимальное количество этого топлива $m$ требуется для вывода космического корабля из поля тяготения звезды (на бесконечность)? Ну и вообще какова оптимальная стратегия расхода топлива?

Мне пока в голову лезут только энергетические соображения.
Начальная энергия корабля с топливом $E_0=-\frac12 G\frac{M(m+m_0)}{R}$.
Энергия, запасенная в топливе $E_1=\frac12 mV_0^2$
Конечная энергия космического аппарата равна нулю.
Значит надо минимизировать энерию (потенциальную плюс кинетическую) израсходованного топлива.
Повидимому топливо всегда рационально выбрасывать против хода аппарата.
Есть соображение, что его надо выбрасывать по следующей схеме.
На круговой орбите выбросить небольшую порцию, переведя корабль на слегка эллиптическую орбиту. Дождаться, пока корабль достигнет своего апоцентра на этой временной орбите и небольшим выбросом перевести его на повую эллипитческую орбиту, для которой эта точка становится перицетром. Ну и тд.

[Someone]

Вообще, насколько я помню, оптимальная стратегия состоит в том, чтобы мгновенно сжечь всё топливо в перицентре. А поскольку у нас двигатель с малой тягой, то топливо придётся тратить "бесконечно короткими" импульсами при каждом прохождении перицентра. Операция займёт, естественно, "бесконечно долгое" время.

[Red_Herring]

Someone в сообщении #1344163 писал(а):

"бесконечно короткими" импульсами при каждом прохождении перицентра

Тем самым увеличивая расстояние в апоцентре. И наоборот: если надо уронить корабль на звезду, то надо тормозиться в апоцентре.

Тем не менее имеется минимальное необходимое количество топлива. Ситуация резко меняется, если около звезды есть планеты. Там можно обойтись произвольно малым количеством топлива, если правильно "танцевать этот балет", но, разумеется, это будет очень доооолгая история. Поэтому все космические аппараты, отправляющиеся и в дальний космос, и к Солнцу, "танцуют", используя либо большие планеты, либо Венеру в качестве партнеров.

[fred1996]

Red_Herring
Ну да. Смысл такой, что если есть массивная планета, надо к нейподлететь максимально близко, и в точке максимального сближения постараться выжечь все топливо. Тогда даже малое увеличние скорости сильно увеличит кинетичекую энергию, так что общая энергия станет положительной. Все это происходит благодаря тому, что мы все топливо оставляем очень близко от планеты. Там где потенциальная энергия резко отрицательна. А у нас как-раз с энергетической точки зрения нужно по возможности оставить все отработанное топливо с минимальной энергией. Это я пока фантазирую, поскольку сам ничего на эту тему не читал, кроме слухов о том, что вот де можно использовать массивные планеты.

[Red_Herring]

fred1996 в сообщении #1344200 писал(а):

кроме слухов о том, что вот де можно использовать массивные планеты.

. Почему слухов : их действительно используют. Вот Parker Solar Probe использует Венеру

[Munin]

fred1996 в сообщении #1344158 писал(а):

Повидимому топливо всегда рационально выбрасывать против хода аппарата.

Тут, видимо, опечатка.

[fred1996]

Red_Herring в сообщении #1344205 писал(а):

fred1996 в сообщении #1344200 писал(а):

кроме слухов о том, что вот де можно использовать массивные планеты.

. Почему слухов : их действительно используют. Вот Parker Solar Probe использует Венеру

Я верю, что используют. Правда только слышал об этом не вникая в подробности. На самом деле хотелось бы придмать на эту тему какие-нибудь интересные задачки. Но пока не знаю, как подступиться.

[Ruslan_Sharipov]

fred1996 в сообщении #1344158 писал(а):

Пусть этот космический аппарат снабжен только маломощным ионно-плазменным двигателем, который может выбрасывать "плазменное топливо" с постоянной скоростью $V_0$ в любом направлении.

Вообще-то у ионно-плазменных двигателей удельный импульс можно менять и он может быть больше второй космической скорости. В этой ситуации энергетически оптимальной будет стратегия направления вектора тяги в строну вектора скорости параллельно ему, а скорость истечения рабочего вещества сделать равной по модулю текущей скорости космического аппарата.

[wrest]

fred1996
Вы хотите заново изобрести гравитационный маневр?

[Red_Herring]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1344291 писал(а):

Вообще-то у ионно-плазменных двигателей удельный импульс можно менять и он может быть больше второй космической скорости.

А это ничего, что удельный импульс и скорость измеряются в несколько разных единицах?

-- 07.10.2018, 16:50 --

fred1996 в сообщении #1344200 писал(а):

Ну да. Смысл такой, что если есть массивная планета, надо к нейподлететь максимально близко, и в точке максимального сближения постараться выжечь все топливо.

Если я правильно понимаю, то эти аппараты используют свое топливо для коррекции орбиты, а вовсе не для существенного изменения скорости. При наличии звезды и планеты вульгарные законы сохранения энергии и углового момента не работают, посколько надо учитывать малые изменения энергии и углового момента в в системе "звезда--планета".

[wrest]

Red_Herring в сообщении #1344302 писал(а):

А это ничего, что удельный импульс и скорость измеряются в несколько разных единицах?

В метрах в секунду и то и другое, разве нет?

[Red_Herring]

wrest в сообщении #1344309 писал(а):

В метрах в секунду и то и другое, разве нет?

Да, забыл поделить импульс на массу затраченного горючего

[fred1996]

wrest в сообщении #1344299 писал(а):

fred1996
Вы хотите заново изобрести гравитационный маневр?

Не изобрести, а придумать красивую задачку на тему.

-- 07.10.2018, 14:29 --

Munin в сообщении #1344223 писал(а):

fred1996 в сообщении #1344158 писал(а):

Повидимому топливо всегда рационально выбрасывать против хода аппарата.

Тут, видимо, опечатка.

Ну да, по русски это конечно по ходу, но по смыслу против движения

[DimaM]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1344291 писал(а):

В этой ситуации энергетически оптимальной будет стратегия направления вектора тяги в строну вектора скорости параллельно ему, а скорость истечения рабочего вещества сделать равной по модулю текущей скорости космического аппарата.

Обычно оптимизируется масса истраченного топлива, поэтому скорость истечения нужно делать как можно больше.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1344319 писал(а):

Не изобрести, а придумать красивую задачку на тему.

Это задача по смене орбиты, в центральном поле без возмущений, насколько я понимаю, в вашем случае с круговой на параболическую. Космонавты молятся на Дельта Вэ ($\Delta v$) которая в вашем случае должна составить корень из двух (скорость тела находящегося на круговой орбите надо увеличить в $\sqrt{2}$ раз для перехода на параболическую).
Как тут уже говорили, стратегия более-менее простая: разгоняться, находясь в перицентре.
Вероятно, какую-то пользу даст и эффект Оберта, но в Википедии пишут, что для двигателей с малой тягой типа ионных и эффект будет мал.

-- 08.10.2018, 09:11 --

fred1996 в сообщении #1344158 писал(а):

Значит надо минимизировать энерию (потенциальную плюс кинетическую) израсходованного топлива.
Повидимому топливо всегда рационально выбрасывать против хода аппарата.

Думаю, что только в самом начале, чтобы перейти с круговой на эллиптическую орбиту и иметь скорость в перицентре побольше чтобы эффект Оберта лучше проявился. Но см. выше: при заданных условиях (малая тяга) придется делать много-много оборотов.