Дифференциальный оператор.

[STilda]

Есть ли такой дифференциальный оператор $D$, чтобы $DD=E$?
(область действия - действительные, комплексные функции)

[Brukvalub]

Сначала следует понять, какой смысл Вы вкладываете в слова:

STilda писал(а):

дифференциальный оператор

[ewert]

и ещё: это вопрос или задача?

Т.е.: спрашивается ли, почему это неправдоподобно -- или требуется доказать, что это невозможно?

[STilda]

Примеры
$Dx=x''+3x'+5x$
$Dx=(x')^2+Sin(x'')$
в комплексном варианте тоже
$Dx=x'+i x^2-i x''$
возможно сама $x(t)$ комплекснозначная. $t$ - желательно действительное.

Это вопрос и задача. Если такой есть, тогда привести пример, если нет - тогда доказать что нет. Если для действительных нет а для комплексных есть - вообще потрясающе.

[ewert]

STilda писал(а):

Примеры
$Dx=x''+3x'+5x$
$Dx=(x')^2+Sin(x'')$
в комплексном варианте тоже
$Dx=x'+i x^2-i x''$
возможно сама $x(t)$ комплекснозначная. $t$ - желательно действительное.

Это вопрос и задача. Если такой есть, тогда привести пример, если нет - тогда доказать что нет. Если для действительных нет а для комплексных есть - вообще потрясающе.

Ну т.е., с Вашей точки зрения, дифференциальный оператор -- это произвольное выражение вида $Lx=f(x,x',x'',\dots)$, где $f$ -- заданная функция. И при этом тождество $x\equiv f(x,x',x'',\dots)$ должно выполняться для любой функции $x(t)$. Т.е для некоторого обыкновенного дифференциального уравнения решением должна быть любая гладкая функция. Так не бывает.

[observer]

Интересно, а откуда (или из чего) возникла такая задача? Может ссылочку дадите.

[STilda]

ewert, нужно чтобы $LLx=x$, а не $Lx=x$.

Цитата:

Интересно, а откуда (или из чего) возникла такая задача?

Распознавание речи. Фильтры хочу сделать с определенными свойствами.

[ewert]

STilda писал(а):

ewert, нужно чтобы $LLx=x$, а не $Lx=x$.

А разница? После подстановки всё равно получится оператор такой же структура. Правда, более сложный, но это не принципиально. Зато более специального вида, а это лишь уменьшает шансы получить единичку.

[Brukvalub]

STilda писал(а):

ewert, нужно чтобы $LLx=x$, а не $Lx=x$.

Разве дифференциальный оператор не выдерживает композиции с самим собой ( то есть, такая композиция уже не является неким дифференциальным оператором)?

[Gafield]

STilda писал(а):

Примеры
$Dx=x''+3x'+5x$
$Dx=(x')^2+Sin(x'')$
в комплексном варианте тоже
$Dx=x'+i x^2-i x''$
возможно сама $x(t)$ комплекснозначная. $t$ - желательно действительное.

Это вопрос и задача. Если такой есть, тогда привести пример, если нет - тогда доказать что нет. Если для действительных нет а для комплексных есть - вообще потрясающе.

Что значит примеры? Пока что это не задача, а какие-то смутные пожелания. Какой вид должны иметь дифференциальные операторы? В каких пространствах функций они действуют?

А то вот пример: оператор $D=\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}\frac{\partial^n}{\partial x^n}$ удовтетворяет условию $D=E$ на множестве 1-периодических аналитических функций

При сколько-нибудь разумных условиях такого конечно быть не может. Скажем, для линейного оператора конечного порядка $D$ с гладкими коэффициентами рассмотрим его действие в какой-нибудь шкале пространств, Гельдера, например. Если дифференциальный оператор имееет порядок $k$, то он отбражает $C^{m+\alpha}$ в $C^{m-k+\alpha}$, т.е. уменьшает гладкость. Однако, поскольку он предполагается обратным к самому себе, то он должен увеличивать гладкость, что невозможно.

[observer]

STilda писал(а):

Цитата:

Интересно, а откуда (или из чего) возникла такая задача?

Распознавание речи. Фильтры хочу сделать с определенными свойствами.

Вот о свойствах поподробнее. Уж очень хотелось бы уточнить область действия $D$. Да и дополнительная инфа о виде диф.оператора не помешала бы. В задаче о фильтрах, как я понимаю, вас должны интересовать интегро-дифференциальные операторы?

[STilda]

область действия, вид оператора, и подобные вещи придумывайте такие, которые отвечают практической сути задачи. Задача прикладная, есть сигнал то ли из микрофона, то ли изображение. (Дискретность игнорируем.). Оператор будет применяться к нему.
Один из вариантов - то что оператор дифференциальный. Кто знает решение в других условиях - замечательно, показывайте.

to ewert, Brukvalub.
Уточняем, что $E$-единичный дифференциальный оператор. Тогда существует оператор $L$ такой, что $Lx=x$ для любого $x$. Тогда спрашиваем дальше найти оператор D, $DD=E$.

Задача не может быть конкретизирована, потому как мне не известен ни один вариант ее решения хоть в каких бы то ни было условиях. Пока что подходят любые варианты.

[AD]

Я чего-то не понимаю? Если $Lx=x$, то $LLx=L(Lx)=Lx=x$.

[ewert]

STilda писал(а):

Задача не может быть конкретизирована, потому как мне не известен ни один вариант ее решения хоть в каких бы то ни было условиях. Пока что подходят любые варианты.

Так никакие варианты и не подходят. Если по большому счёту: потому, что композиция диф.операторов есть тоже диф.оператор, а оные операторы (разумно определяемые) неограничены, в то время как единичный -- тривиально ограничен.

Это, как мне кажется, примерно то, что совсем недавно попытался объяснить Gafield. У меня такие же поползновения тоже были, да застеснялся, т.к. строго обосновать не могу, а вдумываться лень. В общем, синдром Василия Ивановича.

[Brukvalub]

STilda писал(а):

Уточняем, что $E$-единичный дифференциальный оператор. Тогда существует оператор $L$ такой, что $Lx=x$ для любого $x$. Тогда спрашиваем дальше найти оператор D, $DD=E$.

Ответ: Требуемый оператор - очевиден: берем $D=E$