Трифуны вместо звёздочек

[Ktina]

Сколькими способами можно вместо звёздочек вписать $\sin(x), \cos(x), \tan(x)$ и $\cot(x)$ в неравенство

$$*<*<*<*$$

так, чтобы нашёлся угол $x$, для которого это неравенство выполняется?

[waxtep]

У меня получилось $12$, половиной всех возможных. Делал нудным перебором осьмушек в тригонометрическом круге По квадрантам так:

$$\begin{tabular}{c|c} 3&4\\ \hline 2&3 \end{tabular} $$

[wrest]

Подтверждаю, 12 способов:
cos cot sin tan
cos sin cot tan
cos sin tan cot
cot cos tan sin
cot tan cos sin
cot tan sin cos
sin cos cot tan
sin cos tan cot
sin tan cos cot
tan cot cos sin
tan cot sin cos
tan sin cot cos

-- 03.10.2018, 14:08 --

waxtep в сообщении #1343435 писал(а):

У меня получилось $12$, половиной всех возможных.

А, ну да, половиной, потому что если синус меньше тангенса, то косинус меньше котангенса (и наоборот, если больше то больше)

[Ktina]

waxtep
wrest
Большое спасибо!

[arseniiv]

Скучные вы люди — косинус, тангенс. Почему не взять $\operatorname{cas} x = \cos x + \sin x$, использующийся с преобразованием Хартли? Или какой-нибудь доисторический гаверсинус (достоянием истории стала вообще куча тригонометрических функций).

[wrest]

arseniiv
Я читал у Ньютона в Началах про какой-то синус версус, Ньютон видать был любителем этаких синусов... такшта можно ещё его рассмотреть

[arseniiv]

Ваш синус это https://en.wikipedia.org/wiki/Versine; там ещё и картинки есть со всевозможными историческими функциями на них:

[wrest]

arseniiv в сообщении #1343515 писал(а):

Ваш синус это

В Википедию-то я заглянул конешно, перед тем как нафлудить. Просто я не "чувствую" синус версус как чувствую обычный. В школе не проходили, да и потом тоже нет. А вот Ньютон, голова, использовал его в хвост и гриву (из-за чего, в том числе, читать Начала было непросто). Видать в его времена "стрелка дуги" была для чего-то очень нужна именно как отдельная функция, а не просто $1-\cos$ или удвоенный квадрат синуса половинного угла. В Вики еще говорится что "играл важную роль в навигации по звёздам"... Может где-то на секстантах или астролябиях есть разметка в синусах-верзусах, я не знаю...

[arseniiv]

Я вчера тоже не вчитывался, но сколько-то лет назад читал, что он был полезен для составления таблиц — более удобным в каких-то случаях, видимо. Возможно, Ньютон им манипулировал так широко, потому что это было нормой (и люди удивятся, если его не будет в использовании там, где он по их мнению сделал бы записи проще). Можно представить гипотетическую ситуацию, что синус и косинус заменятся на $\operatorname{Re} e^{it}, \operatorname{Im} e^{it}$ (чтобы это выглядело разумнее, допустим, что функции $\mathrm{Re},\mathrm{Im},t\mapsto e^{it}$ будут обозначаться одним символом каждая) и потомок будет писать примерно то же.