Полный предпорядок, непрерывность, фактор-пространство

[Mikhail Sokolov]

Помогите, пожалуйста, разобраться со следующим вопросом.
Сначала определение: полный предпорядок (полное транзитивное бинарное отношение) $\succeq$ на топологическом пространстве $Z$ называется непрерывным, если для любого $z\in Z$ множества $\{ z' \in Z: z' \succeq z\}$ и $\{ z' \in Z: z \succeq z'\}$ замкнуты (можно также доказать, что требование непрерывности эквивалентно тому, что множество $\succeq$ замкнуто в $Z\times Z$ в топологии прямого произведения).

Пусть $X$ и $Y$ - топологические пространства, $\succeq$ - полный предпорядок на $X\times Y$. Пусть имеется непрерывная и сюръективная функция $u:X \rightarrow \mathbb{R}$ (где на $\mathbb{R}$ задана обычная евклидова (=порядковой) топология), такая, что $(x,y) \succeq (x',y)$ $\Leftrightarrow$ $u(x) \geq u(x')$.
Я пытаюсь доказать "кажущийся очевидным" факт, что если предпорядок $\succeq$ непрерывен в топологии прямого произведения на $X\times Y$, то и полный предпорядок $\succeq'$ на $\mathbb{R}\times Y$, построенный по правилу $(u(x),y) \succeq' (u(x'),y')$ $\Leftrightarrow$ $(x,y) \succeq (x',y')$, также непрерывен в топологии прямого произведения на $\mathbb{R}\times Y$.

Мои попытки: я пытался рассматривать фактор-топологию на $X\times Y/{\sim}$, где отношение эквивалентности ${\sim}$ определяется как $(x,y) {\sim} (x',y')$ $\Leftrightarrow$ $u(x)=u(x')$ и $y=y'$. Однако, не смог доказать, что $X\times Y/ {\sim}$ гомеоморфно $\mathbb{R}\times Y$. Пытался рассматривать фактор-топологию на $X/\approx$, где отношение эквивалентности $\approx$ определяется как $x \approx x$ $\Leftrightarrow$ $u(x)=u(x')$. Но не смог доказать, что $(X/\approx)\times Y$ гомеоморфно $\mathbb{R}\times Y$...
Буду благодарен любым комментариям.

[Someone]

"Полный" означает, что любые два элемента сравнимы? А "предпорядок" — что из $a\succeq b$ и $b\succeq a$ не следует $a=b$? Но рефлексивность и транзитивность требуются.

[Mikhail Sokolov]

Да, рефлексивное и транзитивное бинарное отношение, любые два элемента которого сравнимы.

[Mikhail Sokolov]

Похоже, это утверждение просто неверно. Контрпример: $X=\mathbb{R}$ с дискретной топологией, $Y=\mathbb{R}$ - с естественной топологией, $\succeq$ - лексикографический порядок на $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$.