Чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числ

[Ktina]

Доказать, что не существует такого натурального $n\geqslant 3$, при котором можно расставить все натуральные числа от 1 до $n$ по кругу так, чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числом.

[StaticZero]

$4 + 1 + 2 = 7$

[Ktina]

StaticZero
Вы внимательно прочли условие?

[StaticZero]

Ktina в сообщении #1340957 писал(а):

по кругу

Полагаю, что да.

[Ktina]

StaticZero
В таком случае мне не совсем понятно, что Вы имеете в виду под

StaticZero в сообщении #1340959 писал(а):

$4 + 1 + 2 = 7$

[StaticZero]

Если расставить числа 1, 2, 3, 4 по кругу, то можно выбрать три подряд идущих числа 4, 1, 2...

[Ktina]

StaticZero в сообщении #1340964 писал(а):

Если расставить числа 1, 2, 3, 4 по кругу, то можно выбрать три подряд идущих числа 4, 1, 2...

В условии сказано любых трёх подряд идущих.

[waxtep]

Вроде бы, достаточно соображений четности: поставим на какое-нибудь место единицу, а, за ней, либо два четных числа, либо два нечетных. Во втором случае наш круг будет состоять из одних нечетных чисел, а, в первом наоборот понадобится слишком много четных

[Ktina]

waxtep
Извините, туплю. Что значит "слишком много"? При $n=4$, например, у нас как раз два чётных и два нечётных, где тут "слишком"?

-- 24.09.2018, 00:39 --

Мне всё таки кажется, что случаи с 3, 4 и 5 нужно доказывать отдельно. А вот начиная с 6 Ваше док-во действительно работает.

[waxtep]

Ktina в сообщении #1340967 писал(а):

Извините, туплю. Что значит "слишком много"? При $n=4$, например, у нас как раз два чётных и два нечётных, где тут "слишком"?

А четыре нельзя же, будет $1,0,0,1\bmod2$ по кругу, и $1,1,0$ дадут четное составное. Ближайшая возможная остановка - шесть: $1,0,0,1,0,0\bmod2$ и тут четных уже многовато

[Ktina]

waxtep
Теперь, вроде, стало понятно. Большое спасибо!

[StaticZero]

В общем, была одна мысль и я её думал, а на форум вывалилась другая, которую я случайно выронил.

Предположим, что такое число $n$ есть и $G_n = \{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ --- перестановка, которая реализует условие (все 3-суммы простые). Любые два числа, отстоящие друг от друга на 2, обязаны иметь одинаковую чётность. Есть три таких последовательности: $a_{3s+1}$, $a_{3s+2}$ и $a_{3s+3}$, $s \geqslant 0$ (мы считаем, что $a_{n+m} = a_m$), причём обязательно две из них чётные.

Эти последовательности могут либо замыкаться сами на себя (когда $n$ делится на три), либо замыкаться друг на друга (когда $n$ на три не делится). Во втором случае получится, что все числа одной четности. В первом случае можно выделить наименьшие части в последовательностях: $a_1, a_4, \ldots, a_{n-2}$, $a_2, a_5, \ldots, a_{n-1}$ и $a_3, a_6, \ldots, a_n$, причём в них одинаковое количество чисел. С другой стороны, две из этих групп чётные и одна нечётная, то есть чётных чисел больше в два раза, что невозможно. Доказали.