2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числ
Сообщение23.09.2018, 23:59 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Доказать, что не существует такого натурального $n\geqslant 3$, при котором можно расставить все натуральные числа от 1 до $n$ по кругу так, чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числ
Сообщение24.09.2018, 00:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
$4 + 1 + 2 = 7$

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числ
Сообщение24.09.2018, 00:11 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
StaticZero
Вы внимательно прочли условие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числ
Сообщение24.09.2018, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Ktina в сообщении #1340957 писал(а):
по кругу

Полагаю, что да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числ
Сообщение24.09.2018, 00:17 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
StaticZero
В таком случае мне не совсем понятно, что Вы имеете в виду под
StaticZero в сообщении #1340959 писал(а):
$4 + 1 + 2 = 7$

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числ
Сообщение24.09.2018, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Если расставить числа 1, 2, 3, 4 по кругу, то можно выбрать три подряд идущих числа 4, 1, 2...

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числ
Сообщение24.09.2018, 00:21 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
StaticZero в сообщении #1340964 писал(а):
Если расставить числа 1, 2, 3, 4 по кругу, то можно выбрать три подряд идущих числа 4, 1, 2...

В условии сказано любых трёх подряд идущих.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числ
Сообщение24.09.2018, 00:23 
Аватара пользователя


07/01/16
1654
Аязьма
Вроде бы, достаточно соображений четности: поставим на какое-нибудь место единицу, а, за ней, либо два четных числа, либо два нечетных. Во втором случае наш круг будет состоять из одних нечетных чисел, а, в первом наоборот понадобится слишком много четных

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числ
Сообщение24.09.2018, 00:34 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
waxtep
Извините, туплю. Что значит "слишком много"? При $n=4$, например, у нас как раз два чётных и два нечётных, где тут "слишком"?

-- 24.09.2018, 00:39 --

Мне всё таки кажется, что случаи с 3, 4 и 5 нужно доказывать отдельно. А вот начиная с 6 Ваше док-во действительно работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числ
Сообщение24.09.2018, 00:48 
Аватара пользователя


07/01/16
1654
Аязьма
Ktina в сообщении #1340967 писал(а):
Извините, туплю. Что значит "слишком много"? При $n=4$, например, у нас как раз два чётных и два нечётных, где тут "слишком"?
А четыре нельзя же, будет $1,0,0,1\bmod2$ по кругу, и $1,1,0$ дадут четное составное. Ближайшая возможная остановка - шесть: $1,0,0,1,0,0\bmod2$ и тут четных уже многовато

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числ
Сообщение24.09.2018, 00:52 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
waxtep
Теперь, вроде, стало понятно. Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числ
Сообщение24.09.2018, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
В общем, была одна мысль и я её думал, а на форум вывалилась другая, которую я случайно выронил.

Предположим, что такое число $n$ есть и $G_n = \{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ --- перестановка, которая реализует условие (все 3-суммы простые). Любые два числа, отстоящие друг от друга на 2, обязаны иметь одинаковую чётность. Есть три таких последовательности: $a_{3s+1}$, $a_{3s+2}$ и $a_{3s+3}$, $s \geqslant 0$ (мы считаем, что $a_{n+m} = a_m$), причём обязательно две из них чётные.

Эти последовательности могут либо замыкаться сами на себя (когда $n$ делится на три), либо замыкаться друг на друга (когда $n$ на три не делится). Во втором случае получится, что все числа одной четности. В первом случае можно выделить наименьшие части в последовательностях: $a_1, a_4, \ldots, a_{n-2}$, $a_2, a_5, \ldots, a_{n-1}$ и $a_3, a_6, \ldots, a_n$, причём в них одинаковое количество чисел. С другой стороны, две из этих групп чётные и одна нечётная, то есть чётных чисел больше в два раза, что невозможно. Доказали.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: fiviol


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group