2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 В чём ошибки при составлении дифура в термодинамике?
Сообщение19.09.2018, 17:41 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
По мотивам темы «Процесс отдачи теплоты при кристаллизации воды» возник вопрос. Как решить ту задачу понятно, вопрос в каком месте и у Rusit8800 и у меня трабл при решении через дифуры. Приведу условие и свои выкладки как чуточку более корректные (но всё равно приводящие к абсурдному ответу).

По условию даны в тепловом контакте вода массы $m$ при температуре $0°С$ и лёд массой $m_0$ температурой $T_0<0°С$. Надо найти результирующую температуру льда при условии что вся вода кристаллизуется и получится лёд некоей новой отрицательной температуры. Теплоёмкость льда $c$, теплоёмкость воды не нужна, удельная теплота кристаллизации воды $\lambda$. Искать будем не просто результирующую температуру, а её зависимость от исходной массы воды $T(m)$, причём именно через составление дифура.
Сначала запишем тепловой баланс при кристаллизации воды массой $\Delta m$:$$\lambda \Delta m + c \Delta m (0°C-T_i) = c (m_i+\Delta m)\Delta T_i,\; \Delta T_i=T_{i+1}-T_i, \quad T_{i=0}=T_0,\; m_{i=0}=m_0,\;\sum\limits_i\Delta m=m$$здесь $m_i, T_i$ масса и температура льда до кристаллизации $\Delta m$ воды, $\Delta T_i$ увеличение температуры суммы предыдущего и нового льда. Слева кристаллизация воды и охлаждение нового льда до температуры старого, справа нагрев всего льда (и старого и нового) до новой температуры.
Выразим $\Delta T_i$$$\Delta T_i=\dfrac{\lambda \Delta m + c \Delta m (0°C-T_i)}{c (m_i+\Delta m)}=\dfrac{\dfrac{\lambda}{c}+(0°C-T_i)}{m_i+\Delta m}\Delta m$$
Преобразуем$$\dfrac{\Delta T_i}{\Delta m}=\dfrac{1}{m_i+\Delta m}\left(\dfrac{\lambda}{c}+(0°C-T_i)\right)$$
И тут появляется первый мутный момент: заменяем $\Delta m \to dm,\; T_i \to T,\; m_i \to m_0,\; \Delta T_i \to dT$. Правомерность последних двух замен под вопросом.$$\dfrac{dT}{dm}=\dfrac{1}{m_0+dm}\left(\dfrac{\lambda}{c}+(0°C-T)\right)$$
Получился на первый взгляд вполне себе дифур. Но на второй взгляд (как пояснили в ЛС) это вовсе не дифур, т.к. кроме производных (слева) в уравнение входит и отдельная $dm$. Там же в ЛС предложили учесть $dm \ll m_0$ и заменить $m_0+dm \to m_0$ (и это второй мутный момент) для получения уже настоящего дифура$$\dfrac{dT}{dm}=T'=\dfrac{1}{m_0}\left(\dfrac{\lambda}{c}+(0°C-T)\right)$$
Собственно практически такой же получился и у Rusit8800 в исходной теме, правда с температурой справа с плюсом (что в итоге и дало ему экспоненту с положительным показателем).
Забив этот дифур в вольфрам получим решение$$T(m)=\dfrac{\lambda}{c}+C_1 \exp\left(-\dfrac{m}{m_0}\right)+0°C$$$C_1$ выбирается из условия например $T(0)=T_0$, но не суть.

Проблема в том, что положив в самом первом уравнении $\Delta m=m, m_i=m_0, T_{i+1}=T_{end}, T_i=T_0$ получим правильное уравнение конечного состояния (аналогичное решению realeugene)$$\lambda m + cm(0°C-T_0)=c(m_0+m)(T_{end}-T_0)$$
из которого нетрудно получить и выражение для $T(m)$ $$T(m)=T_{end}=\dfrac{\lambda/c+(0°C-T_0)}{m_0/m+1}+T_0$$
в котором никаких экспонент не наблюдается и которое категорически не похоже на решение дифура.

Также в ЛС было высказано предложение заменить $m_i \to m$ вместо $m_0$ при составлении дифура, тогда он получается таким$$\dfrac{dT}{dm}=T'=\dfrac{1}{m}\left(\dfrac{\lambda}{c}+(0°C-T)\right)$$и вольфрам его решает в$$T(m)=\lambda/c+C_1/m+0°C$$что не менее абсурдней экспоненты (например исчезла зависимость от $m_0$, что и неудивительно т.к. и в дифуре её нет). На правильную формулу тоже не похоже.

Собственно вопрос где ошибки. И что с теми двумя мутными моментами, насколько они правомерны.

PS. Вопрос в ПРР(Ф) потому что проблема не в решении дифура, а в его составлении на основе физической задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём ошибки при составлении дифура в термодинамике?
Сообщение19.09.2018, 18:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Dmitriy40 в сообщении #1340144 писал(а):
$$\lambda \Delta m + c \Delta m (0°C-T_i) = c (m_i+\Delta m)\Delta T_i$$

Во-первых, это записано неправильно: $\lambda\,\Delta m+c\,\Delta m\,(0^\circ\,\mathrm{C}-T_i)=cm_i\,\Delta T_i,$ потому что у вас в нагреве участвует только предыдущий лёд, безо всякого $\Delta m.$ Ну да это мусор, который должен исчезнуть при переходе к дифуру. Дальше хуже.

Dmitriy40 в сообщении #1340144 писал(а):
$$\dfrac{\Delta T_i}{\Delta m}=\dfrac{1}{m_i+\Delta m}\left(\dfrac{\lambda}{c}+(0°C-T_i)\right)$$ И тут появляется первый мутный момент: заменяем $\Delta m \to dm,\; T_i \to T,\; m_i \to m_0,\; \Delta T_i \to dT$. Правомерность последних двух замен под вопросом.$$\dfrac{dT}{dm}=\dfrac{1}{m_0+dm}\left(\dfrac{\lambda}{c}+(0°C-T)\right)$$

Вот в этот момент у вас должно шевельнуться в голове, что $m_i$ - это вовсе не $m_0,$ а что она растёт по мере нарастания льда на затравку. Из ваших предыдущих формул $m_i=m_0+i\,\Delta m.$ По-красивому, в этом месте надо сказать, что $m_i$ переходит в непрерывную переменную величину $m,$ но эта буква у вас уже занята. Можно назвать её как-нибудь $m_\star.$ И тогда у вас будет совсем другой дифур
$$\dfrac{dT}{dm_\star}=\dfrac{1}{m_\star}\Bigl(\dfrac{\lambda}{c}+(0^\circ\,\mathrm{C}-T)\Bigr).$$ И вот от этого у вас будут совсем другие решения. Конкретно линейные.

А решать дифуры с разделяющимися переменными надо уметь самому, без Вольфрама. Это материал старших классов школы.

-- 19.09.2018 18:09:07 --

Dmitriy40 в сообщении #1340144 писал(а):
что не менее абсурдней экспоненты (например исчезла зависимость от $m_0$, что и неудивительно т.к. и в дифуре её нет).

Зависимость от $m_0$ - в начальных условиях, которые влияют на неопределённую константу $C_1.$

В общем, вам бы немножко познакомиться с тем, что такое дифференциальные уравнения. Это не просто тупая игра в значочки, и если их так воспринимать - можно наошибаться на каждом шагу.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём ошибки при составлении дифура в термодинамике?
Сообщение19.09.2018, 18:38 


05/09/16
11468
Dmitriy40
О заменах ("второй мутный момент"). Ну тут есть пара недавних тем про дифференциалы и производные :mrgreen:
$y'(t)=\frac{d}{dt}y(t)=\lim \limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta y(t, \Delta t)}{\Delta t}$
Вот из этого и надо бы исходить. Тогда ясно что "одинокая" $\Delta t$ это в пределе ноль.
И замечу, что вольфраму вы скармливаете почему-то в записи $y'(t)=...$ а тут пишете с использованием знаков дифференциала :mrgreen: Типа, так более "по-взрослому", что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём ошибки при составлении дифура в термодинамике?
Сообщение19.09.2018, 21:24 


27/08/16
9426
Munin в сообщении #1340147 писал(а):
И вот от этого у вас будут совсем другие решения. Конкретно линейные.
Конкретно билинейные.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём ошибки при составлении дифура в термодинамике?
Сообщение19.09.2018, 21:53 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Munin в сообщении #1340147 писал(а):
Во-первых, это записано неправильно: $\lambda\,\Delta m+c\,\Delta m\,(0^\circ\,\mathrm{C}-T_i)=cm_i\,\Delta T_i,$ потому что у вас в нагреве участвует только предыдущий лёд, безо всякого $\Delta m.$
Поясните пожалуйста, почему тогда слева в скобке температура не $T_{i+1}$? Я ведь специально охладил новый лёд до температуры старого чтобы потом их нагревать вместе (при постоянной теплоёмкости льда имею право).
Munin в сообщении #1340147 писал(а):
Вот в этот момент у вас должно шевельнуться в голове,
Оно и шевельнулось, только непонятно куда, написал же что момент мутный.
Munin в сообщении #1340147 писал(а):
И вот от этого у вас будут совсем другие решения. Конкретно линейные.
Разве второй вариант дифура у меня не именно такой (с учётом Вашего замечания про $m_\star\subset [m_0;m_0+m]$)? Но его решение мне всё равно не нравится: если его переписать в исходных обозначениях, то получится$$T(m)=\dfrac{\lambda}{c}+\dfrac{C_1}{m_0+m}+0°C$$и после наложения начального условия $T(0)=T_0$ $$T(m)=\dfrac{\lambda}{c}+0°C - \dfrac{\lambda/c+(0°C-T_0)}{m/m_0+1}$$что всё так же не слишком похоже на правильную.
Непонятно. Что, ошибся где-то в арифметике?

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1340151 писал(а):
И замечу, что вольфраму вы скармливаете почему-то в записи $y'(t)=...$ а тут пишете с использованием знаков дифференциала :mrgreen: Типа, так более "по-взрослому", что ли?
Нет, просто я не всегда могу объяснить вольфраму какую именно формулу я ввожу, он иногда та-а-ак коверкает ... Потому вольфраму скармливаю упрощённое выражение и подогнанное под него (например с заменой $0°C \to 273$), проверял, разницы нет. А тут шёл от приращений к дифференциалам, вот они и остались в формулах. Кроме того явно указываю что отношение дифференциалов равно производной (правда не указал по какой переменной, это да).

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём ошибки при составлении дифура в термодинамике?
Сообщение19.09.2018, 22:25 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Dmitriy40 в сообщении #1340172 писал(а):
что всё так же не слишком похоже на правильную
А по-моему очень похоже, что они в точности совпадают, просто записаны немного по-разному.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём ошибки при составлении дифура в термодинамике?
Сообщение19.09.2018, 22:38 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Действительно, приравнял и легко получил тождество ... :facepalm: Туплю, однозначно. :-(
Что ж, выходит вопрос решился. Осталось ещё раз обдумать остались ли непонятные моменты.
Спасибо всем! Особенно за объяснение основного затыка:
Munin в сообщении #1340147 писал(а):
Из ваших предыдущих формул $m_i=m_0+i\,\Delta m.$ По-красивому, в этом месте надо сказать, что $m_i$ переходит в непрерывную переменную величину $m,$ но эта буква у вас уже занята. Можно назвать её как-нибудь $m_\star.$ И тогда у вас будет совсем другой дифур

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём ошибки при составлении дифура в термодинамике?
Сообщение19.09.2018, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Dmitriy40 в сообщении #1340172 писал(а):
Поясните пожалуйста, почему тогда слева в скобке температура не $T_{i+1}$?

Да, верно. Ещё один огрех. Может, они взаимно и компенсируются, лень думать. В любом случае, так делать не надо.

Dmitriy40 в сообщении #1340172 писал(а):
Я ведь специально охладил новый лёд до температуры старого чтобы потом их нагревать вместе (при постоянной теплоёмкости льда имею право).

Это какой-то дикий стиль мышления. В физике он не рекомендуется. Вы до какого-то предела "имеете право", а потом начинаете портачить ошибки. И сами не будете знать, где эта граница.

Dmitriy40 в сообщении #1340172 писал(а):
Разве второй вариант дифура у меня не именно такой (с учётом Вашего замечания про $m_\star\subset [m_0;m_0+m]$)?

Да. Я писал сначала ответ на первую версию вашего сообщения. Учитывайте, что ответы могут писаться не моментально, а долго.

Dmitriy40 в сообщении #1340172 писал(а):
Нет, просто я не всегда могу объяснить вольфраму какую именно формулу я ввожу, он иногда та-а-ак коверкает ...

Потому что это не "вольфрам", а Wolfram Alpha. Он радикально отличается от другого продукта Wolfram Mathematica. Он состоит из интеллектуального анализа, что вы ввели, который не воспринимает ввод как строго формальный, и позволяет сильно отклоняться от точной записи. Однако из этого вытекает недостаток, что слишком сложный ввод он не приемлет. Вы можете использовать Mathematica, и скармливать ему какие захотите формулы - однако для этого придётся как минимум на начальном уровне изучить входной язык этой системы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group