В чём ошибки при составлении дифура в термодинамике?

[Dmitriy40]

По мотивам темы «Процесс отдачи теплоты при кристаллизации воды» возник вопрос. Как решить ту задачу понятно, вопрос в каком месте и у Rusit8800 и у меня трабл при решении через дифуры. Приведу условие и свои выкладки как чуточку более корректные (но всё равно приводящие к абсурдному ответу).

По условию даны в тепловом контакте вода массы $m$ при температуре $0°С$ и лёд массой $m_0$ температурой $T_0<0°С$. Надо найти результирующую температуру льда при условии что вся вода кристаллизуется и получится лёд некоей новой отрицательной температуры. Теплоёмкость льда $c$, теплоёмкость воды не нужна, удельная теплота кристаллизации воды $\lambda$. Искать будем не просто результирующую температуру, а её зависимость от исходной массы воды $T(m)$, причём именно через составление дифура.
Сначала запишем тепловой баланс при кристаллизации воды массой $\Delta m$:

$$\lambda \Delta m + c \Delta m (0°C-T_i) = c (m_i+\Delta m)\Delta T_i,\; \Delta T_i=T_{i+1}-T_i, \quad T_{i=0}=T_0,\; m_{i=0}=m_0,\;\sum\limits_i\Delta m=m$$

здесь $m_i, T_i$ масса и температура льда до кристаллизации $\Delta m$ воды, $\Delta T_i$ увеличение температуры суммы предыдущего и нового льда. Слева кристаллизация воды и охлаждение нового льда до температуры старого, справа нагрев всего льда (и старого и нового) до новой температуры.
Выразим $\Delta T_i$

$$\Delta T_i=\dfrac{\lambda \Delta m + c \Delta m (0°C-T_i)}{c (m_i+\Delta m)}=\dfrac{\dfrac{\lambda}{c}+(0°C-T_i)}{m_i+\Delta m}\Delta m$$

Преобразуем

$$\dfrac{\Delta T_i}{\Delta m}=\dfrac{1}{m_i+\Delta m}\left(\dfrac{\lambda}{c}+(0°C-T_i)\right)$$

И тут появляется первый мутный момент: заменяем $\Delta m \to dm,\; T_i \to T,\; m_i \to m_0,\; \Delta T_i \to dT$. Правомерность последних двух замен под вопросом.

$$\dfrac{dT}{dm}=\dfrac{1}{m_0+dm}\left(\dfrac{\lambda}{c}+(0°C-T)\right)$$

Получился на первый взгляд вполне себе дифур. Но на второй взгляд (как пояснили в ЛС) это вовсе не дифур, т.к. кроме производных (слева) в уравнение входит и отдельная $dm$. Там же в ЛС предложили учесть $dm \ll m_0$ и заменить $m_0+dm \to m_0$ (и это второй мутный момент) для получения уже настоящего дифура

$$\dfrac{dT}{dm}=T'=\dfrac{1}{m_0}\left(\dfrac{\lambda}{c}+(0°C-T)\right)$$

Собственно практически такой же получился и у Rusit8800 в исходной теме, правда с температурой справа с плюсом (что в итоге и дало ему экспоненту с положительным показателем).
Забив этот дифур в вольфрам получим решение

$$T(m)=\dfrac{\lambda}{c}+C_1 \exp\left(-\dfrac{m}{m_0}\right)+0°C$$

$C_1$ выбирается из условия например $T(0)=T_0$, но не суть.

Проблема в том, что положив в самом первом уравнении $\Delta m=m, m_i=m_0, T_{i+1}=T_{end}, T_i=T_0$ получим правильное уравнение конечного состояния (аналогичное решению realeugene)

$$\lambda m + cm(0°C-T_0)=c(m_0+m)(T_{end}-T_0)$$

из которого нетрудно получить и выражение для $T(m)$

$$T(m)=T_{end}=\dfrac{\lambda/c+(0°C-T_0)}{m_0/m+1}+T_0$$

в котором никаких экспонент не наблюдается и которое категорически не похоже на решение дифура.

Также в ЛС было высказано предложение заменить $m_i \to m$ вместо $m_0$ при составлении дифура, тогда он получается таким

$$\dfrac{dT}{dm}=T'=\dfrac{1}{m}\left(\dfrac{\lambda}{c}+(0°C-T)\right)$$

и вольфрам его решает в

$$T(m)=\lambda/c+C_1/m+0°C$$

что не менее абсурдней экспоненты (например исчезла зависимость от $m_0$, что и неудивительно т.к. и в дифуре её нет). На правильную формулу тоже не похоже.

Собственно вопрос где ошибки. И что с теми двумя мутными моментами, насколько они правомерны.

PS. Вопрос в ПРР(Ф) потому что проблема не в решении дифура, а в его составлении на основе физической задачи.

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #1340144 писал(а):

$$\lambda \Delta m + c \Delta m (0°C-T_i) = c (m_i+\Delta m)\Delta T_i$$

Во-первых, это записано неправильно: $\lambda\,\Delta m+c\,\Delta m\,(0^\circ\,\mathrm{C}-T_i)=cm_i\,\Delta T_i,$ потому что у вас в нагреве участвует только предыдущий лёд, безо всякого $\Delta m.$ Ну да это мусор, который должен исчезнуть при переходе к дифуру. Дальше хуже.

Dmitriy40 в сообщении #1340144 писал(а):

$$\dfrac{\Delta T_i}{\Delta m}=\dfrac{1}{m_i+\Delta m}\left(\dfrac{\lambda}{c}+(0°C-T_i)\right)$$

И тут появляется первый мутный момент: заменяем $\Delta m \to dm,\; T_i \to T,\; m_i \to m_0,\; \Delta T_i \to dT$. Правомерность последних двух замен под вопросом.

$$\dfrac{dT}{dm}=\dfrac{1}{m_0+dm}\left(\dfrac{\lambda}{c}+(0°C-T)\right)$$

Вот в этот момент у вас должно шевельнуться в голове, что $m_i$ - это вовсе не $m_0,$ а что она растёт по мере нарастания льда на затравку. Из ваших предыдущих формул $m_i=m_0+i\,\Delta m.$ По-красивому, в этом месте надо сказать, что $m_i$ переходит в непрерывную переменную величину $m,$ но эта буква у вас уже занята. Можно назвать её как-нибудь $m_\star.$ И тогда у вас будет совсем другой дифур

$$\dfrac{dT}{dm_\star}=\dfrac{1}{m_\star}\Bigl(\dfrac{\lambda}{c}+(0^\circ\,\mathrm{C}-T)\Bigr).$$

И вот от этого у вас будут совсем другие решения. Конкретно линейные.

А решать дифуры с разделяющимися переменными надо уметь самому, без Вольфрама. Это материал старших классов школы.

-- 19.09.2018 18:09:07 --

Dmitriy40 в сообщении #1340144 писал(а):

что не менее абсурдней экспоненты (например исчезла зависимость от $m_0$, что и неудивительно т.к. и в дифуре её нет).

Зависимость от $m_0$ - в начальных условиях, которые влияют на неопределённую константу $C_1.$

В общем, вам бы немножко познакомиться с тем, что такое дифференциальные уравнения. Это не просто тупая игра в значочки, и если их так воспринимать - можно наошибаться на каждом шагу.

[wrest]

Dmitriy40
О заменах ("второй мутный момент"). Ну тут есть пара недавних тем про дифференциалы и производные
$y'(t)=\frac{d}{dt}y(t)=\lim \limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta y(t, \Delta t)}{\Delta t}$
Вот из этого и надо бы исходить. Тогда ясно что "одинокая" $\Delta t$ это в пределе ноль.
И замечу, что вольфраму вы скармливаете почему-то в записи $y'(t)=...$ а тут пишете с использованием знаков дифференциала Типа, так более "по-взрослому", что ли?

[realeugene]

Munin в сообщении #1340147 писал(а):

И вот от этого у вас будут совсем другие решения. Конкретно линейные.

Конкретно билинейные.

[Dmitriy40]

Munin в сообщении #1340147 писал(а):

Во-первых, это записано неправильно: $\lambda\,\Delta m+c\,\Delta m\,(0^\circ\,\mathrm{C}-T_i)=cm_i\,\Delta T_i,$ потому что у вас в нагреве участвует только предыдущий лёд, безо всякого $\Delta m.$

Поясните пожалуйста, почему тогда слева в скобке температура не $T_{i+1}$? Я ведь специально охладил новый лёд до температуры старого чтобы потом их нагревать вместе (при постоянной теплоёмкости льда имею право).

Munin в сообщении #1340147 писал(а):

Вот в этот момент у вас должно шевельнуться в голове,

Оно и шевельнулось, только непонятно куда, написал же что момент мутный.

Munin в сообщении #1340147 писал(а):

И вот от этого у вас будут совсем другие решения. Конкретно линейные.

Разве второй вариант дифура у меня не именно такой (с учётом Вашего замечания про $m_\star\subset [m_0;m_0+m]$)? Но его решение мне всё равно не нравится: если его переписать в исходных обозначениях, то получится

$$T(m)=\dfrac{\lambda}{c}+\dfrac{C_1}{m_0+m}+0°C$$

и после наложения начального условия $T(0)=T_0$

$$T(m)=\dfrac{\lambda}{c}+0°C - \dfrac{\lambda/c+(0°C-T_0)}{m/m_0+1}$$

что всё так же не слишком похоже на правильную.
Непонятно. Что, ошибся где-то в арифметике?

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1340151 писал(а):

И замечу, что вольфраму вы скармливаете почему-то в записи $y'(t)=...$ а тут пишете с использованием знаков дифференциала Типа, так более "по-взрослому", что ли?

Нет, просто я не всегда могу объяснить вольфраму какую именно формулу я ввожу, он иногда та-а-ак коверкает ... Потому вольфраму скармливаю упрощённое выражение и подогнанное под него (например с заменой $0°C \to 273$), проверял, разницы нет. А тут шёл от приращений к дифференциалам, вот они и остались в формулах. Кроме того явно указываю что отношение дифференциалов равно производной (правда не указал по какой переменной, это да).

[warlock66613]

Dmitriy40 в сообщении #1340172 писал(а):

что всё так же не слишком похоже на правильную

А по-моему очень похоже, что они в точности совпадают, просто записаны немного по-разному.

[Dmitriy40]

Действительно, приравнял и легко получил тождество ... Туплю, однозначно.
Что ж, выходит вопрос решился. Осталось ещё раз обдумать остались ли непонятные моменты.
Спасибо всем! Особенно за объяснение основного затыка:

Munin в сообщении #1340147 писал(а):

Из ваших предыдущих формул $m_i=m_0+i\,\Delta m.$ По-красивому, в этом месте надо сказать, что $m_i$ переходит в непрерывную переменную величину $m,$ но эта буква у вас уже занята. Можно назвать её как-нибудь $m_\star.$ И тогда у вас будет совсем другой дифур

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #1340172 писал(а):

Поясните пожалуйста, почему тогда слева в скобке температура не $T_{i+1}$?

Да, верно. Ещё один огрех. Может, они взаимно и компенсируются, лень думать. В любом случае, так делать не надо.

Dmitriy40 в сообщении #1340172 писал(а):

Я ведь специально охладил новый лёд до температуры старого чтобы потом их нагревать вместе (при постоянной теплоёмкости льда имею право).

Это какой-то дикий стиль мышления. В физике он не рекомендуется. Вы до какого-то предела "имеете право", а потом начинаете портачить ошибки. И сами не будете знать, где эта граница.

Dmitriy40 в сообщении #1340172 писал(а):

Разве второй вариант дифура у меня не именно такой (с учётом Вашего замечания про $m_\star\subset [m_0;m_0+m]$)?

Да. Я писал сначала ответ на первую версию вашего сообщения. Учитывайте, что ответы могут писаться не моментально, а долго.

Dmitriy40 в сообщении #1340172 писал(а):

Нет, просто я не всегда могу объяснить вольфраму какую именно формулу я ввожу, он иногда та-а-ак коверкает ...

Потому что это не "вольфрам", а Wolfram Alpha. Он радикально отличается от другого продукта Wolfram Mathematica. Он состоит из интеллектуального анализа, что вы ввели, который не воспринимает ввод как строго формальный, и позволяет сильно отклоняться от точной записи. Однако из этого вытекает недостаток, что слишком сложный ввод он не приемлет. Вы можете использовать Mathematica, и скармливать ему какие захотите формулы - однако для этого придётся как минимум на начальном уровне изучить входной язык этой системы.