2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел функции двух переменных
Сообщение16.09.2018, 16:07 


23/04/18
143
Прошу помочь доказать или опровергнуть следующее утверждение:
$$\lim\limits_{\mathfrak{B}_x}\lim\limits_{\mathfrak{B}_y}f(x;y)=A     \Leftrightarrow  
   \lim\limits_{\mathfrak{B}_y}\lim\limits_{\mathfrak{B}_x}f(x;y)=A$$
где $$\mathfrak{B}_x, \mathfrak{B}_y \subset \mathcal{P}(\mathbb{R})$$
- это базы на множестве вещественных чисел
Нашёл похожее понятие предела функции двух переменных, которое однако описывает этот предел через окрестности точек на плоскости. В данной же ситуации, формулировка другая: берётся предел предела функции двух переменных. Интуитивно вроде бы понятно, что в данной ситуации операция предела коммутативна. Но если начать всё подробно расписывать, например:
$$\forall \varepsilon > 0 \exists X \in \mathfrak{B}_x \forall x \in X \exists B \in (A-\varepsilon,A+\varepsilon) \forall \delta>0 \exists Y \in \mathfrak{B}_y \forall y \in Y f(x,y) \in (B-\delta, B+ \delta)$$ что то же самое, что $$\lim\limits_{\mathfrak{B}_x}\lim\limits_{\mathfrak{B}_y}f(x;y)=A$$
и $$\forall \varepsilon > 0 \exists Y \in \mathfrak{B}_y \forall y \in Y \exists B \in (A-\varepsilon,A+\varepsilon) \forall \delta>0 \exists X \in \mathfrak{B}_x \forall x \in X f(x,y) \in (B-\delta, B+ \delta)$$
что то же самое, что $$\lim\limits_{\mathfrak{B}_y}\lim\limits_{\mathfrak{B}_x}f(x;y)=A$$
то становится непонятно, как доказать равносильность этих двух утверждений, ибо кванторы чередуются

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции двух переменных
Сообщение16.09.2018, 16:10 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Опровергайте. Контрпример. Или сами, или в любом учебнике матана в разделе типа "Перестановка пределов".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group