Предел функции двух переменных

[Paul Ivanov]

Прошу помочь доказать или опровергнуть следующее утверждение:

$$\lim\limits_{\mathfrak{B}_x}\lim\limits_{\mathfrak{B}_y}f(x;y)=A \Leftrightarrow \lim\limits_{\mathfrak{B}_y}\lim\limits_{\mathfrak{B}_x}f(x;y)=A$$

где

$$\mathfrak{B}_x, \mathfrak{B}_y \subset \mathcal{P}(\mathbb{R})$$

- это базы на множестве вещественных чисел
Нашёл похожее понятие предела функции двух переменных, которое однако описывает этот предел через окрестности точек на плоскости. В данной же ситуации, формулировка другая: берётся предел предела функции двух переменных. Интуитивно вроде бы понятно, что в данной ситуации операция предела коммутативна. Но если начать всё подробно расписывать, например:

$$\forall \varepsilon > 0 \exists X \in \mathfrak{B}_x \forall x \in X \exists B \in (A-\varepsilon,A+\varepsilon) \forall \delta>0 \exists Y \in \mathfrak{B}_y \forall y \in Y f(x,y) \in (B-\delta, B+ \delta)$$

что то же самое, что

$$\lim\limits_{\mathfrak{B}_x}\lim\limits_{\mathfrak{B}_y}f(x;y)=A$$

и

$$\forall \varepsilon > 0 \exists Y \in \mathfrak{B}_y \forall y \in Y \exists B \in (A-\varepsilon,A+\varepsilon) \forall \delta>0 \exists X \in \mathfrak{B}_x \forall x \in X f(x,y) \in (B-\delta, B+ \delta)$$

что то же самое, что

$$\lim\limits_{\mathfrak{B}_y}\lim\limits_{\mathfrak{B}_x}f(x;y)=A$$

то становится непонятно, как доказать равносильность этих двух утверждений, ибо кванторы чередуются

[Otta]

Опровергайте. Контрпример. Или сами, или в любом учебнике матана в разделе типа "Перестановка пределов".