Помогите разобраться со структурами в линале

[Returning0fficer]

У нас есть некоторое поле $K$ и структура векторного пространства над ним -- $L_K$. При этом мы можем построить очевидное "воплощение" нашего векторного пространства $L_K$ в виде $K^n$ -- арифметического пространства, если, конечно, наше пространство $L_K$ конечномерно и имеет размерность $n$.

Рассмотрим множество всех линейных отображений из нашего в.п.$L_K$ в некоторое другое пространство $M_K$, строго над тем же полем $K$ и обозначим его, например, как $Hom(L_K,M_K)$. Это множество можно наделить структурой векторного пространства с групповой операцией вида $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ и $(kf)(x)=kf(x)$, где $k\in K$. Тут же напрашивается изоморфизм арифметического пространства $K^n$ с пространством функций из $S = \{1,\cdots,n\}$, где $n\in\mathbb{N}$ в поле $K$, что очевидно представляется в виде $K^n$. Базисом будут характеристические функции $\delta$, принимающие значение $1$ только на тех элементах множества $S$, которые совпадают с ординалом $\delta$ и значение 0 на всех остальных элементах $S$.

Пространство многочленов $K[x]_{\leq}$ степени не выше $n-1$ изоморфно $n$-мерному координатному пространству $K^n$, посредством биективного отображения, сопоставляющего каждому многочлену набор его коэффициентов в $K^n$. А вместе с ним получаем и изоморфизм $K[x]_{\leq}$ и $L_K$.

Если в $Hom(L_K,M_K)$ $M_K=L_K$, то мы получаем множество всех линейных преобразований пространства $L_K$. На этих преобразованиях явно сохраняется групповая структура из $Hom(L_K,M_K)$. При фиксации базиса можно построить изоморфизм. Первый вопрос: $Hom(L_K,L_K)$ -- это $GL(L_K)$? В $GL(L_K)$ разве та же самая групповая операция?

Тут же возникает конструкция двойственного линейного пространства $(L_K)^{*}$, которая строится на тех $Hom(L_K,M_K)$, в которых $M_K = K_K$, а $K_K$ -- одномерное векторное пространство поля над самим собой. При этом в $Hom(L_K,M_K)$ существуют такие отображения, которые устанавливают изоморфизмы вида, например, $L_K \cong ((L_K)^{*})^{*}$ или неканонический изоморфизм $L_K \cong (L_K)^{*}$. В двойственном пространстве можно рассмотреть подпространства, образованные билинейными формами, а также подпространство квадратичных форм. По билинейным формам строится канонический изоморфизм пространства и его двойственного пространства. При этом элементы этих подпространств представимы в виде многочленов из $K[x]_{\leq}$.

Теперь рассмотрим кольцо матриц $M(K)$. Группа обратимых матриц порядка $n$ называется $GL(n,K)$, c операцией матричного умножения. При этом она явно изоморфна группе $GL(L_K)$. А всё кольцо матриц $M(K)$ изоморфно $Hom(L_K,M_K)$. Но здесь существует нюанс: такой изоморфизм всегда явно зависит от выбранного в пространстве $L_K$ базиса. Второй вопрос: какая вторая "кольцевая" операция в $Hom(L_K,M_K)$?


В $GL(n,L_K)$ можно выделить подгруппу $SL(n,L_K)$. В $M(K)$ есть подгруппы $SO(n,L_K) \subset O(n,L_K)$. $SO(n,L_K)\subset SL(n,L_K)$.


Я привожу все утверждения без доказательств, потому что хочу наметить в голове некоторый "скелет" линала. Подскажите, насколько мне удалось его верно выделить? И можно ли это красиво записать в виде диаграмм? Может быть уже есть такие схемы? А то, пока переберешь все эти конструкции в голове, уже успеешь порядочно запутаться...

[mihaild]

Returning0fficer в сообщении #1338528 писал(а):

Первый вопрос: $Hom(L_K,L_K)$ -- это $GL(L_K)$? В $GL(L_K)$ разве та же самая групповая
операция?

Нет, по вашему определению $Hom$ - это кольцо всех линейных отображений, а $GL$ (по общепринятому) - группа всех обратимых линейных отображений.
$Hom$ по умножению - моноид, содержащий подгруппу, изоморфную $GL$.

Returning0fficer в сообщении #1338528 писал(а):

Тут же возникает конструкция двойственного линейного пространства $(L_K)^{*}$, которая строится на тех $Hom(L_K,M_K)$,

Не совсем так. Пусть $L_K$ - векторное пространство, тогда двойственным к нему $L_K^*$ будет пространство $Hom(L_K, K)$, вторым двойственным - $L_K^{**} = Hom(Hom(L_K, K), K)$, и существует канонический изоморфизм $L_K^{**} \cong L_K$.
(вообще, вместо

Returning0fficer в сообщении #1338528 писал(а):

$Hom(L_K,M_K)$, в которых $M_K = K_K$,

лучше сразу писать $Hom(L_K, K_K)$, а можно и $Hom(L_K, K)$ - отождествляя поле с одномерным векторным пространством над ним)

Returning0fficer в сообщении #1338528 писал(а):

В двойственном пространстве можно рассмотреть подпространства, образованные билинейными формами, а также подпространство квадратичных форм.

Нет, это уже другое. Билинейные формы - функции двух аргументов из пространства, а двойственное пространство состоит из функций одного аргумента. Квадратичные формы не являются линейными, а двойственное пространство состоит из линейных функций.

Returning0fficer в сообщении #1338528 писал(а):

По билинейным формам строится канонический изоморфизм пространства и его двойственного пространства.

Нет, канонический изоморфизм строится по правилу $x^{**}(f) = f(x)$ [это всегда вложение пространства во второе сопряженное, и изоморфизм в случае конечномерных пространств].

Returning0fficer в сообщении #1338528 писал(а):

Второй вопрос: какая вторая "кольцевая" операция в $Hom(L_K,M_K)$?

Она определена только если $M_K = L_K$. Учитывая это, и что $Hom(L_K, L_K)$ - пространство каких-то функций $L_K \to L_K$, попробуйте подумать, как на нем можно ввести умножение.

Returning0fficer в сообщении #1338528 писал(а):

Подскажите, насколько мне удалось его верно выделить?

Успехи явно есть, но переменные. Я бы вам советовал выписать все определения и формулировки теорем, и с этим "конспектом" в руках порешать задачки.

[Returning0fficer]

mihaild
Да, спасибо, глупостей много написал.


То есть, по сути, если рассмотреть в $Hom(L_K,L_K)$ только автоморфизмы и определить на них операции, как композицию функций и как поточечную сумму функций, то мы получим тело, содержащие $GL(L_K)$ как мультипликативную группу?

[mihaild]

Returning0fficer в сообщении #1338775 писал(а):

То есть, по сути, если рассмотреть в $Hom(L_K,L_K)$ только автоморфизмы и определить на них операции, как композицию функций и как поточечную сумму функций, то мы получим тело, содержащие $GL(L_K)$ как мультипликативную группу?

Автоморфизмы незамкнуты по сложению.