Ну очень сложный интеграл

[Student2018]

Vince Diesel в сообщении #1338348 писал(а):

Как вариант сделать замену $y=1/x$.

И что потом? Первый синус поменяется местом со вторым?

Vince Diesel в сообщении #1338348 писал(а):

А вообще, так как функция аналитическая, то известный метод - выйти в комплексную плоскость и заменить интегрирование по отрезку $[a,b]$ на интегрирование по полуокружности, диаметром которой является этот отрезок. Матпакеты умеют численно считать интегралы от комплексных функций, так что программировать особо ничего не надо.

У этой функции просто убойное сочетание $x$ и $\frac{1}{x}$ Если вы про теорию вычетов, то такая функция не может быть проинтегрирована этими методами в комплексной плоскости, насколько я это себе представляю. А численный вариант мне не подходит.

[arseniiv]

Student2018 в сообщении #1338362 писал(а):

Первый синус поменяется местом со вторым?

$dy\ne dx$.

[wrest]

Student2018 в сообщении #1338362 писал(а):

А численный вариант мне не подходит.

Тогда, imho тут вы out of luck... Если $b<n$ то да, там хаотичная колбасня и только численно считать...

[Student2018]

arseniiv
Ну и? Дальше то что?

wrest
Вот вот...

[Vince Diesel]

Student2018 в сообщении #1338362 писал(а):

И что потом? Первый синус поменяется местом со вторым?

Промежуток интегрирования поменяется. Он станет длинным, зато функция без особенностей. Но это опять же это было к вопросу о приближенном вычислении.

[Student2018]

Vince Diesel в сообщении #1338368 писал(а):

Промежуток интегрирования поменяется. Он станет длинным, зато функция без особенностей.

Не длинным а коротким наверное. У нас было $a<b<\infty$ а станет $1>\frac{1}{a}>\frac{1}{b}>0$ и еще $y^2$ из дифференциала вылезет?

[Евгений Машеров]

Ну, можно ещё разбить интервал на части, с малым значением икса и с большим. Во второй считать, как считается, в первой делать замену $y=\frac 1 x$. И сложить.

[thething]

Можно, например, пробовать подставлять вместо $\sin x$ отрезки ряда Тейлора (например, до третьего, пятого... порядка). Полученные интегралы заменой $t=\frac{1}{x}$ и последующими интегрированиями по частям сведутся к интегралу от $\frac{\sin x}{x}$ или типа того.

[Student2018]

Тут смысла нету в подобных манипуляциях, т.к. в выражении есть еще и $n$. Если $x$ маленький, то $\frac{n}{x}$ большой и правый синус пробегается по большому интервалу, а если $x$ большой, то левый синус пробегается по большому интервалу. И та же самая история с заменой $x$ на $y$, только выражение усложняется...

[wrest]

Евгений Машеров в сообщении #1338381 писал(а):

Ну, можно ещё разбить интервал на части, с малым значением икса и с большим.

При $b<n$ в $\int\limits_{a}^{b}\sin(x)\cdot\sin(\frac{n}{x})dx$ значение икса везде "малое" "плохое".
Вот пример: $y(x)=\int\limits_{0}^{x}\sin(t)\cdot\sin(\frac{100}{t})dt$ в диапазоне $x \in (0;30]$то есть $b=30, n=100$

[Vince Diesel]

Student2018 в сообщении #1338380 писал(а):

Не длинным а коротким наверное. У нас было $a<b<\infty$ а станет $1>\frac{1}{a}>\frac{1}{b}>0$ и еще $y^2$ из дифференциала вылезет?

Вроде в оригинальном сообщении было

Lia в сообщении #1338285 писал(а):

$0<a<b<1$.

Так что если предварительно не растягивать, после замены будет отрезок на на $[1,\infty)$. И множитель $1/y^2$ из дифференциала.

[Student2018]

thething в сообщении #1338383 писал(а):

Можно, например, пробовать подставлять вместо $\sin x$ отрезки ряда Тейлора (например, до третьего, пятого... порядка). Полученные интегралы заменой $t=\frac{1}{x}$ и последующими интегрированиями по частям сведутся к интегралу от $\frac{\sin x}{x}$ или типа того.

Не будет работать.

wrest
Я хочу сказать что промежутки по которым берутся синусы всегда достаточно большие. В вашем примере, если 0 не брать, то от 1 до 30 для левого синуса и от 100 до 3 для правого, а значит впринципе это ничего не меняет, какие бы мы замены не делали. Это значит что всегда будет много накладывающихся волн, и такую функцию численно интегрировать будет очень долго.

Vince Diesel в сообщении #1338387 писал(а):

Вроде в оригинальном сообщении было

Да, но в последующих сообщения я же уточнил...

[wrest]

Вообще да, всё очень плохо.

Пересчитал с разной точностью.
1. Стандартная точность PARI/GP, 38 десятичных цифр

2. 100 десятичных цифр

3. 200 десятичных цифр


Собсно как считал
ploth(x=10^(-2),30,intnum(t=10^(-2),x,sin(t)*sin(100/t)))

Так что беру самоотвод, не знаю как тут правильно будет.

[wrest]

Досчиталось с точностью 1000 знаков (для сравнения с предыдущими):

И теперь оно не выглядит таким уж страшным.

[Евгений Машеров]

Наивные мысли.
Разбиваем на отрезки с границами $\frac 1 {2\pi(k+1)}$ и $\frac 1 {2\pi k}, внутри которых второй сомножитель имеет полный период колебания.
Для малых x можно получить аналитически, допустив приближение $\sin x\approx x$, и заменив $y=\frac 1 x$
Интергируем $x\sin(1/x)$, после замены $\frac {\sin y}{y^3}$
Тогда $\int \frac {\sin y}{y^3}dy=-\frac 1 {2x^2}\sin x-\frac 1 {2x}\cos-\frac 1 2 si(x) x$
Для больших численно, беря ширину шага пропорционально длине отрезка.