Ну очень сложный интеграл

[worm2]

Около нуля можно заменить $\sin x$ на $x$ (погрешность легко оценивается). Получается интеграл, выражаемый в спецфункциях, с известным значением в нуле. Далеко от нуля — обычным образом.

[Lia]

А, елки. Приношу свои извинения Student2018 за случайно убитый мною стартовый пост.

Он спрашивал, как посчитать определенный интеграл вида

$$\int_a^b\sin x\sin\frac 1x \,dx,$$

$0<a<b<1$.

Student2018 писал(а):

В элементарных функциях, понятное дело, он не выражается. Можно разложить в ряд, но сходимость будет наверняка не ахти. Функция $\sin(1/x)$ в нуле имеет $\infty$ количество изгибов и т.о. сильно осциллирует. Далеко от точки разложения, нужно непомерное количество членов ряда (чем ближе к 0, тем больше надо). Вопрос, можно ли как-то более-менее быстро вычислить?

[Student2018]

Странно, куда-то все сообщения подевались...
worm2

Спасибо, интересная идея, может быть поможет. А если надо точно вычислить?

[worm2]

Точно — никак.
Ну или объявляете свою спецфункцию Si2018(x), равную искомому интегралу от 0 до x, исследуете её, доказываете, что она не выражается в элементарных функциях (в идеале, конечно, надо бы доказать, что она не выражается через известные спецфункции, но тут может спасти то, что понятие "известная спецфункция" строго не определено), описываете алгоритм её более или менее эффективного вычисления с любой наперёд заданной точностью (в основе будет всё равно примерно то же самое, что я в предыдущем сообщении набросал). Всё. Точное значение интеграла равно Si2018(b)-Si2018(a). Это по всем критериям ничем не хуже, чем "точное значение интеграла от dx/x на отрезке от a до b равно ln(b)-ln(a)". Этот результат ведь тоже невозможно точно вычислить, ни в десятичных дробях, ни в натуральных, но люди как-то живут с этим.

Я прошу прощения, что не $\TeX$ом пишу, потому что тут конкретные формулы не нужны.

[wrest]

Интеграл $y(x)=\int_0^x \sin(t)\sin(1/t)dt$ (на графике $x \in (0;0.5]$):

Вблизи нуля там колбасит всё, конечно, но сам интеграл по модулю много меньше верхнего предела ($0<x \ll 1,|y|\ll x$)
Диапазон $x \in (0;0,001]$

Диапазон $x \in (0;100]$

[Student2018]

wrest

Да, но дьявол, как говорится, прячется в мелочах (это я про точность вычислений). Вот если растянуть промежуток (0,1), то получится:

$$\int\limits_{a}^{b}\sin(x)\cdot\sin(\frac{n}{x})$$

1<a<b<n<$\infty$

Тут уже $\sin(x)$ тоже дает волны. Мне надо это как-то посчитать.

[Lia]

Student2018

Student2018 в сообщении #1338308 писал(а):

Тут уже sin(x) тоже дает волны.

Оформляйте все формулы, пожалуйста. И делайте замену аккуратно, тогда и никаких лишних эффектов не возникнет.

[Student2018]

worm2
Я вам в ЛС ответил...

Lia

Lia в сообщении #1338312 писал(а):

И делайте замену аккуратно, тогда и никаких лишних эффектов не возникнет.

Для промежутка (1,$\infty$) замена $\sin(x)$ на x вроде бы никак не подходит, даже если аккуратно.

[wrest]

Student2018 в сообщении #1338308 писал(а):

Тут уже $\sin(x)$ тоже дает волны. Мне надо это как-то посчитать.

Численно...

[=SSN=]

Lia в сообщении #1338285 писал(а):

Он спрашивал, как посчитать определенный интеграл вида
$\int_a^b\sin x\sin\frac 1x \,dx,$ $0<a<b<1$.

Если я правильно понял вопрос, то этот интеграл вычисляется элементарно. Нужно воспользоваться формулой Эйлера:

$\sin(x) = \frac{e^{+ix}-e^{-ix}}{2i}$

$\sin(\frac{1}{x}) = \frac{e^{+\frac{i}{x}}-e^{-\frac{i}{x}}}{2i}$

После перемножения $\sin(x)$ на $\sin(\frac{1}{x})$ подынтегральное выражение сведётся к константе..

[Lia]

=SSN= в сообщении #1338331 писал(а):

После перемножения $\sin(x)$ на $\sin(\frac{1}{x})$ подынтегральное выражение сведётся к константе..

Нет, Вам показалось.

[Евгений Машеров]

=SSN= в сообщении #1338331 писал(а):

Lia в сообщении #1338285 писал(а):

Он спрашивал, как посчитать определенный интеграл вида
$\int_a^b\sin x\sin\frac 1x \,dx,$ $0<a<b<1$.

Если я правильно понял вопрос, то этот интеграл вычисляется элементарно. Нужно воспользоваться формулой Эйлера:

$\sin(x) = \frac{e^{+ix}-e^{-ix}}{2i}$

$\sin(\frac{1}{x}) = \frac{e^{+\frac{i}{x}}-e^{-\frac{i}{x}}}{2i}$

После перемножения $\sin(x)$ на $\sin(\frac{1}{x})$ подынтегральное выражение сведётся к константе..

Гениально! Только не работает...

[=SSN=]

Lia в сообщении #1338333 писал(а):

Нет, Вам показалось.

Так, скобок же нет после первого синуса?

-- 12.09.2018, 14:17 --

Вот тут ТС явно указывает, что под интегралом стоит произведение синусов:

Student2018 в сообщении #1338308 писал(а):

Вот если растянуть промежуток (0,1), то получится:
$\int\limits_{a}^{b}\sin(x)\cdot\sin(\frac{n}{x})$
1<a<b<n<$\infty$

Ой! Кажется я перегрелся..

[Student2018]

wrest в сообщении #1338327 писал(а):

Численно...

Для большого $n$ численно будет неподьемно. Хочется какое нибудь более менее аналитическое решение.

=SSN=
Нет, на комплексной плоскости там все еще запутаннее получается.

[Vince Diesel]

Как вариант сделать замену $y=1/x$.

А вообще, так как функция аналитическая, то известный метод - выйти в комплексную плоскость и заменить интегрирование по отрезку $[a,b]$ на интегрирование по полуокружности, диаметром которой является этот отрезок. Матпакеты умеют численно считать интегралы от комплексных функций, так что программировать особо ничего не надо.