2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 10:44 
Аватара пользователя
Около нуля можно заменить $\sin x$ на $x$ (погрешность легко оценивается). Получается интеграл, выражаемый в спецфункциях, с известным значением в нуле. Далеко от нуля — обычным образом.

 
 
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 11:06 
А, елки. Приношу свои извинения Student2018 за случайно убитый мною стартовый пост.

Он спрашивал, как посчитать определенный интеграл вида
$$\int_a^b\sin x\sin\frac 1x \,dx,$$
$0<a<b<1$.
Student2018 писал(а):
В элементарных функциях, понятное дело, он не выражается. Можно разложить в ряд, но сходимость будет наверняка не ахти. Функция $\sin(1/x)$ в нуле имеет $\infty$ количество изгибов и т.о. сильно осциллирует. Далеко от точки разложения, нужно непомерное количество членов ряда (чем ближе к 0, тем больше надо). Вопрос, можно ли как-то более-менее быстро вычислить?

 
 
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 11:11 
Странно, куда-то все сообщения подевались...
worm2

Спасибо, интересная идея, может быть поможет. А если надо точно вычислить?

 
 
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 11:45 
Аватара пользователя
Точно — никак.
Ну или объявляете свою спецфункцию Si2018(x), равную искомому интегралу от 0 до x, исследуете её, доказываете, что она не выражается в элементарных функциях (в идеале, конечно, надо бы доказать, что она не выражается через известные спецфункции, но тут может спасти то, что понятие "известная спецфункция" строго не определено), описываете алгоритм её более или менее эффективного вычисления с любой наперёд заданной точностью (в основе будет всё равно примерно то же самое, что я в предыдущем сообщении набросал). Всё. Точное значение интеграла равно Si2018(b)-Si2018(a). Это по всем критериям ничем не хуже, чем "точное значение интеграла от dx/x на отрезке от a до b равно ln(b)-ln(a)". Этот результат ведь тоже невозможно точно вычислить, ни в десятичных дробях, ни в натуральных, но люди как-то живут с этим.

Я прошу прощения, что не $\TeX$ом пишу, потому что тут конкретные формулы не нужны.

 
 
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 12:12 
Интеграл $y(x)=\int_0^x \sin(t)\sin(1/t)dt$ (на графике $x \in (0;0.5]$):
Изображение
Вблизи нуля там колбасит всё, конечно, но сам интеграл по модулю много меньше верхнего предела ($0<x \ll 1,|y|\ll x$)
Диапазон $x \in (0;0,001]$
Изображение
Диапазон $x \in (0;100]$
Изображение

 
 
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 12:39 
wrest

Да, но дьявол, как говорится, прячется в мелочах (это я про точность вычислений). Вот если растянуть промежуток (0,1), то получится:
$$\int\limits_{a}^{b}\sin(x)\cdot\sin(\frac{n}{x})$$
1<a<b<n<$\infty$

Тут уже $\sin(x)$ тоже дает волны. Мне надо это как-то посчитать.

 
 
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 12:45 
Student2018
Student2018 в сообщении #1338308 писал(а):
Тут уже sin(x) тоже дает волны.

Оформляйте все формулы, пожалуйста. И делайте замену аккуратно, тогда и никаких лишних эффектов не возникнет.

 
 
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 12:58 
worm2
Я вам в ЛС ответил...

Lia
Lia в сообщении #1338312 писал(а):
И делайте замену аккуратно, тогда и никаких лишних эффектов не возникнет.


Для промежутка (1,$\infty$) замена $\sin(x)$ на x вроде бы никак не подходит, даже если аккуратно.

 
 
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 13:51 
Student2018 в сообщении #1338308 писал(а):
Тут уже $\sin(x)$ тоже дает волны. Мне надо это как-то посчитать.

Численно...

 
 
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 14:03 
Lia в сообщении #1338285 писал(а):
Он спрашивал, как посчитать определенный интеграл вида
$\int_a^b\sin x\sin\frac 1x \,dx,$ $0<a<b<1$.

Если я правильно понял вопрос, то этот интеграл вычисляется элементарно. Нужно воспользоваться формулой Эйлера:

$\sin(x) = \frac{e^{+ix}-e^{-ix}}{2i}$

$\sin(\frac{1}{x}) = \frac{e^{+\frac{i}{x}}-e^{-\frac{i}{x}}}{2i}$

После перемножения $\sin(x)$ на $\sin(\frac{1}{x})$ подынтегральное выражение сведётся к константе..

 
 
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 14:07 
=SSN= в сообщении #1338331 писал(а):
После перемножения $\sin(x)$ на $\sin(\frac{1}{x})$ подынтегральное выражение сведётся к константе..

Нет, Вам показалось.

 
 
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 14:12 
Аватара пользователя
=SSN= в сообщении #1338331 писал(а):
Lia в сообщении #1338285 писал(а):
Он спрашивал, как посчитать определенный интеграл вида
$\int_a^b\sin x\sin\frac 1x \,dx,$ $0<a<b<1$.

Если я правильно понял вопрос, то этот интеграл вычисляется элементарно. Нужно воспользоваться формулой Эйлера:

$\sin(x) = \frac{e^{+ix}-e^{-ix}}{2i}$

$\sin(\frac{1}{x}) = \frac{e^{+\frac{i}{x}}-e^{-\frac{i}{x}}}{2i}$

После перемножения $\sin(x)$ на $\sin(\frac{1}{x})$ подынтегральное выражение сведётся к константе..


Гениально! Только не работает...

 
 
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 14:14 
Lia в сообщении #1338333 писал(а):
Нет, Вам показалось.

Так, скобок же нет после первого синуса?

-- 12.09.2018, 14:17 --

Вот тут ТС явно указывает, что под интегралом стоит произведение синусов:
Student2018 в сообщении #1338308 писал(а):
Вот если растянуть промежуток (0,1), то получится:
$\int\limits_{a}^{b}\sin(x)\cdot\sin(\frac{n}{x})$
1<a<b<n<$\infty$

Ой! Кажется я перегрелся.. :shock:

 
 
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 14:29 
wrest в сообщении #1338327 писал(а):
Численно...

Для большого $n$ численно будет неподьемно. Хочется какое нибудь более менее аналитическое решение.

=SSN=
Нет, на комплексной плоскости там все еще запутаннее получается.

 
 
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение12.09.2018, 14:30 
Как вариант сделать замену $y=1/x$.

А вообще, так как функция аналитическая, то известный метод - выйти в комплексную плоскость и заменить интегрирование по отрезку $[a,b]$ на интегрирование по полуокружности, диаметром которой является этот отрезок. Матпакеты умеют численно считать интегралы от комплексных функций, так что программировать особо ничего не надо.

 
 
 [ Сообщений: 54 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group