Задача Ламе для сплошного цилиндра

[eugrita]

Прошу извинения за несколько растянутое изложение предыдущей темы по сопромату, не соответствующее ее смыслу.
задача ляме для сплошного цилиндра под внешним давлением
формулы Ляме для толстостенной трубы под внешним давлением $ p$ имеют вид
$\sigma _r=-p \frac{r_n^2}{r_n^2-r_v^2}(1-\frac{r_v^2}{r^2})$
$\sigma _t=-p \frac{r_n^2}{r_n^2-r_v^2}(1+\frac{r_v^2}{r^2})$
где $r_v, r_n$- внутренний и наружный радиусы трубы
Из них во всяком случае следует что при $r=r_v$ $\sigma _r=0$ а при $r=r_n$ $\sigma _r=-p$
Вводя $ k=\frac{r_v}{r_n}$ имеем
$\sigma _t(r_v)=-p \frac{2}{1-k^2}$ $\sigma _t(r_n)=-p \frac{1+k^2}{1-k^2}$
при $k \rightarrow 0 $ имеем $\sigma _t(r_v)=-2p $
$ \sigma _t(r_n)=-p $
Поэтому хотя это математически вытекает из формул выше, но качественно необъяснимым является факт что для сплошного цилиндра мы имеем постоянное распределение как радиального так и окружного напряжения по радиусу цилиндра $\sigma _t(r)=\sigma _r(r)=-p$ т.е. качественно иной вид эпюр.
В статье “Противоречие в осесимметричной классической задаче ЛАМЕ о НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА” говорится
https://sibac.info/conf/tech/ix/27585
Процедурой предельного перехода, когда внутренний радиус цилиндра стремиться к нулю, доказано, что известная классическая осесимметричная модель Ламе, аппроксимирующая в условиях плоской деформации напряженное состояние однородного изотропного цилиндрического тела, не является корректной и адекватной с физико-математической точки зрения, поскольку она: 1) не отражает фактический характер распределения напряжений в материале при коэффициенте Пуассона меньше 0,5; 2) противоречит теореме единственности решения задачи линейной теории упругости; 3) не согласуется с принципом локальности эффекта самоуравновешенной нагрузки (принципом Сен-Венана).

Взамен ее авторы предлагают расчетную сxему с абсолютно жесткой границей $r=a$, т е когда внутренняя часть цилиндра является недеформируемой . На основе которой выводят формулу для напряжения в центре цилиндра $\sigma _r=-2p \mu$
Хотелось бы внести ясность в этот вопрос, тем более что в ВУЗах предлагаются задачи типа "Валик AB проходит через камеру, в которой поддерживается давление $p$, и закручивается моментами $M$. Изучите напряжённое состояние валика..."

Pphantom:

Исправил написание фамилии в заголовке.

[optimist]

Решение уравнений Ламе (уравнения линейной изотропной теории упругости в перемещениях) в цилинрической системе координат в случае плоской деформации и гипотезы
$\{\boldsymbol{u}\}^i = \{ u_r(r) , 0 , 0 \}$
с граничными условиями
$ u_r(0) = 0, \sigma_{rr}(R) = \lambda \frac{u_r(R)}{R} + (\lambda + 2\mu) u_r'(R) = \sigma $
, $\lambda,\ \mu$ - константы Ламе, $R$ - радиус цилиндра,
имеет вид
$u_r(r) = \frac{1}{2(\lambda + \mu)} r \sigma$
, что дает компоненты тензора напряжений в цилиндрической системе координат
$\sigma_{rr}(r) = \sigma,\ \sigma_{\theta \theta}(r) = \sigma,\ \sigma_{zz}(r) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\sigma $
, недиагональные компоненты нулевые.
Очевидно, в декартовой системе координат
$\sigma_{xx}(r) = \sigma,\ \sigma_{yy}(r) = \sigma,\ \sigma_{zz}(r) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\sigma $
, это поле напряжений удовлетворяет всем полевым уравнениям в декартовой системе координат, а так же граничным условиям. Не вижу причин ему не доверять.
Не понятно как авторы могли получить иное решение (в их вычислениях не разбирался).
Так же непонятна отсылка к принципу Сен Венана, который говорит о том, что при удалении от границы с распределенными на ней усилиями, конкретное распределение усилий все слабее влияет на поле напряжений.
Если решение противоречит экспериментам, то на мой взгляд, необходимо подумать о правомерности гипотезы плоской деформации, а не о неверности решения.

[pogulyat_vyshel]

ясно, что при $r=0$ не определена система цилиндрических координат, поэтому там могут возникать какие-угодно артефакты, и с предельными переходами надо быть аккуратней.
На такого сорта конференциях могут возникать любые сенсации. Зачем только в этом всем ковыряться? Ведь невооруженным глазом видно, что они там дикие совсем:

Цитата:

Candidate. Technical. Science, dotsent

[eugrita]

И все таки . пусть СПЛОШНОЙ ЦИЛИНДР находится под действием давления (сжатие).
А)Какая ВСЕ-ТАКИ БУДЕТ ЭПЮРА ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ в зависимости от радиуса?
Б)пусть к концам приложена нагрузка - сила F или скручивающий момент M (таких учебных задач сколько угодно)
Найти наиболее опасную точку и рассчитать для нее эквивалентное напряжение и коэф запаса прочности
При ответе как на 1 так и на 2 вопросы возможны 2 варианта
1) А) эпюра равномерна $\sigma_t(r)=-p$ Б) точки как внутри так и на поверхности вала нагружены одинаково (равноопасны)
2)А) эпюра $\sigma_t(r)$ неравномерна. На поверхности $\sigma_t(r)=-p$ в центре
$\sigma_t(r)=-2p$ Б)наиболее опасная точка в центре вала (нормальные напряжения от растягивающей силы одинаковы по сечению)

[optimist]

eugrita в сообщении #1337792 писал(а):

И все таки . пусть СПЛОШНОЙ ЦИЛИНДР находится под действием давления (сжатие).
А)Какая ВСЕ-ТАКИ БУДЕТ ЭПЮРА ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ в зависимости от радиуса?
Б)пусть к концам приложена нагрузка - сила F или скручивающий момент M (таких учебных задач сколько угодно)
Найти наиболее опасную точку и рассчитать для нее эквивалентное напряжение и коэф запаса прочности
При ответе как на 1 так и на 2 вопросы возможны 2 варианта
1) А) эпюра равномерна $\sigma_t(r)=-p$ Б) точки как внутри так и на поверхности вала нагружены одинаково (равноопасны)
2)А) эпюра $\sigma_t(r)$ неравномерна. На поверхности $\sigma_t(r)=-p$ в центре
$\sigma_t(r)=-2p$ Б)наиболее опасная точка в центре вала (нормальные напряжения от растягивающей силы одинаковы по сечению)

На вопрос по поводу распределения тангенциального напряжения в круглом цилиндре под действием радиального давления я уже отвечал.

По поводу растяжения круглого цилиндра вдоль оси и кручения. Такие нагружения не приводят к возникновению тангенциального напряжения. Растяжение приводит к возникновению однородного одноосного напряженного состояния. Кручение круглого цилиндра приводит к возникновению касательных напряжений (и только их) $\sigma_{r\theta}(r)=\frac{2M}{\pi R^4}r$, $M$ - приложенный момент, $R$ - радиус цилиндра.

Что касается комбинаций различных нагружений. Задача линейна, поэтому линейная комбинация решений (напряжений, деформаций, перемещений) тоже будет решением.

[eugrita]

optimist в сообщении #1303460 писал(а):

Решение уравнений Ламе (уравнения линейной изотропной теории упругости в перемещениях) в цилинрической системе координат в случае плоской деформации и гипотезы
$\{\boldsymbol{u}\}^i = \{ u_r(r) , 0 , 0 \}$
с граничными условиями
$ u_r(0) = 0, \sigma_{rr}(R) = \lambda \frac{u_r(R)}{R} + (\lambda + 2\mu) u_r'(R) = \sigma $
, $\lambda,\ \mu$ - константы Ламе, $R$ - радиус цилиндра,
имеет вид
$u_r(r) = \frac{1}{2(\lambda + \mu)} r \sigma$
, что дает компоненты тензора напряжений в цилиндрической системе координат
$\sigma_{rr}(r) = \sigma,\ \sigma_{\theta \theta}(r) = \sigma,\ \sigma_{zz}(r) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\sigma $
, недиагональные компоненты нулевые.
Очевидно, в декартовой системе координат
$\sigma_{xx}(r) = \sigma,\ \sigma_{yy}(r) = \sigma,\ \sigma_{zz}(r) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\sigma $

Хорошо. Граничное условие $u_r (0)=0 $ я вроде понимаю это отсутствие радиальных перемещений в центре. А что такое \sigma_{rr}(R) = \lambda \frac{u_r(R)}{R} + (\lambda + 2\mu) u_r'(R) = \sigma $ ?

-- Вт сен 11, 2018 09:42:25 --

Цель моего вопроса понять различия в краевых (граничных) условиях для 2 моделей если они есть
а)сплошного цилиндра б)полого цилиндра с очень малым (бесконечно малым ) внутренним радиусом

[optimist]

eugrita в сообщении #1338033 писал(а):

А что такое \sigma_{rr}(R) = \lambda \frac{u_r(R)}{R} + (\lambda + 2\mu) u_r'(R) = \sigma $ ?

Это граничное условие на напряжение, записанное в перемещениях, для этого нужно в закон гука подставить деформации $\boldsymbol{\varepsilon}=\frac{1}{2}\left(\nabla\boldsymbol{u} + (\nabla\boldsymbol{u})^T\right)$.

По полому цилиндру. Уравнение равновесия, записанное в перемещениях (уравнение Ламе) имеет вид
$r^2u_r''(r)+ru_r'(r)-u_r(r)=0$
и граничные условия
\sigma_{rr}(R_1) = \lambda \frac{u_r(R_1)}{R_1} + (\lambda + 2\mu) u_r'(R_1) = 0, $
\sigma_{rr}(R_2) = \lambda \frac{u_r(R_2)}{R_2} + (\lambda + 2\mu) u_r'(R_2) = \sigma, $
$R_1$ и $R_2$ - внутренний и внешний радиусы.
Решение
$u_r(r)=\frac{\mu R_2^2r^2+(\lambda+\mu)R_1^2R_2^2}{2(R_2^2-R_1^2)\mu(\lambda+\mu)r}\sigma,$
откуда напряжения
$\sigma_{rr}(r) = \frac{R_2^2(r^2 - R_1^2)}{(R_2^2 - R_1^2)r^2} \sigma,\ \sigma_{\theta \theta}(r) = \frac{R_2^2(r^2 + R_1^2)}{(R_2^2 - R_1^2)r^2} \sigma,\ \sigma_{zz}(r) = \frac{R_2^2\lambda}{(R_2^2 - R_1^2)} \sigma. $
Если устремить $R_1 \rightarrow 0$, то решение будет стремиться к разрывному:
$\sigma_{rr}(r) = \left\{ \begin{aligned} \sigma&,\quad R_1<r\leqslant R_2 \\ 0&,\quad r=R_1 \end{aligned} \right. ,\ $\sigma_{\theta \theta}(r) = \left\{ \begin{aligned} \sigma&,\quad R_1<r\leqslant R_2 \\ 2\sigma&,\quad r=R_1 \end{aligned} \right.$
$\sigma_{zz}(r) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu} \sigma$
Если рассмотреть конечный маленький радиус $R_1$, то $\sigma_{rr}(r)$ при увеличении $r$, будет быстро возрастать с нуля почти до $\sigma$ и далее оставаться почти постоянной. $\sigma_{\theta \theta}(r)$ при увеличении $r$, будет быстро уменьшаться с $2\sigma$ почти до $\sigma$ и далее оставаться почти постоянной. Таким образом, распределение напряжений в цилиндре с полостью малого радиуса (расположенной в центре, хотя, наверное, это верно для любой малой полости) будет отличаться от распределения напряжений в сплошном цилиндре лишь в небольшой окрестности этой полости.

Теперь об опастности. Если напряжения около малой полости удовлетворяют условию текучести, то в малой окрестности полости возникнут пластические деформации, что приведет к релаксации напряжений около полости. Возникновение пластических деформаций в малой окрестности полости не приведет к, хоть сколько-нибудь, значимому изменению распределения напряжений в остальной части цилиндра. Таким образом, наличие малой полости в цилиндре не приведет к значимому изменению прочности (если под прочностью понимать нагрузку, которую может выдержать цилиндр, до того как начнется пластическое течение по всему цилиндру) цилиндра как целого, однако может служить источником зарождения трещин.