2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача Ламе для сплошного цилиндра
Сообщение12.04.2018, 01:19 


15/04/10
949
г.Москва
Прошу извинения за несколько растянутое изложение предыдущей темы по сопромату, не соответствующее ее смыслу.
задача ляме для сплошного цилиндра под внешним давлением
формулы Ляме для толстостенной трубы под внешним давлением $ p$ имеют вид
$\sigma _r=-p \frac{r_n^2}{r_n^2-r_v^2}(1-\frac{r_v^2}{r^2})$
$\sigma _t=-p \frac{r_n^2}{r_n^2-r_v^2}(1+\frac{r_v^2}{r^2})$
где $r_v, r_n$- внутренний и наружный радиусы трубы
Из них во всяком случае следует что при $r=r_v$ $\sigma _r=0$ а при $r=r_n$ $\sigma _r=-p$
Вводя $ k=\frac{r_v}{r_n}$ имеем
$\sigma _t(r_v)=-p \frac{2}{1-k^2}$ $\sigma _t(r_n)=-p \frac{1+k^2}{1-k^2}$
при $k \rightarrow 0 $ имеем $\sigma _t(r_v)=-2p $
$ \sigma _t(r_n)=-p $
Поэтому хотя это математически вытекает из формул выше, но качественно необъяснимым является факт что для сплошного цилиндра мы имеем постоянное распределение как радиального так и окружного напряжения по радиусу цилиндра $\sigma _t(r)=\sigma _r(r)=-p$ т.е. качественно иной вид эпюр.
В статье “Противоречие в осесимметричной классической задаче ЛАМЕ о НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА” говорится
https://sibac.info/conf/tech/ix/27585
Процедурой предельного перехода, когда внутренний радиус цилиндра стремиться к нулю, доказано, что известная классическая осесимметричная модель Ламе, аппроксимирующая в условиях плоской деформации напряженное состояние однородного изотропного цилиндрического тела, не является корректной и адекватной с физико-математической точки зрения, поскольку она: 1) не отражает фактический характер распределения напряжений в материале при коэффициенте Пуассона меньше 0,5; 2) противоречит теореме единственности решения задачи линейной теории упругости; 3) не согласуется с принципом локальности эффекта самоуравновешенной нагрузки (принципом Сен-Венана).

Взамен ее авторы предлагают расчетную сxему с абсолютно жесткой границей $r=a$, т е когда внутренняя часть цилиндра является недеформируемой . На основе которой выводят формулу для напряжения в центре цилиндра $\sigma _r=-2p \mu$
Хотелось бы внести ясность в этот вопрос, тем более что в ВУЗах предлагаются задачи типа "Валик AB проходит через камеру, в которой поддерживается давление $p$, и закручивается моментами $M$. Изучите напряжённое состояние валика..."
Изображение
 i  Pphantom:
Исправил написание фамилии в заголовке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача ляме для сплошного цилиндра
Сообщение12.04.2018, 11:46 


27/10/17
47
Решение уравнений Ламе (уравнения линейной изотропной теории упругости в перемещениях) в цилинрической системе координат в случае плоской деформации и гипотезы
$\{\boldsymbol{u}\}^i = \{ u_r(r) , 0 , 0 \}$
с граничными условиями
$ u_r(0) = 0, \sigma_{rr}(R) = \lambda \frac{u_r(R)}{R} + (\lambda + 2\mu) u_r'(R) = \sigma $
, $\lambda,\ \mu$ - константы Ламе, $R$ - радиус цилиндра,
имеет вид
$u_r(r) = \frac{1}{2(\lambda + \mu)} r \sigma$
, что дает компоненты тензора напряжений в цилиндрической системе координат
$\sigma_{rr}(r) = \sigma,\ \sigma_{\theta \theta}(r) = \sigma,\ \sigma_{zz}(r) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\sigma $
, недиагональные компоненты нулевые.
Очевидно, в декартовой системе координат
$\sigma_{xx}(r) = \sigma,\ \sigma_{yy}(r) = \sigma,\ \sigma_{zz}(r) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\sigma $
, это поле напряжений удовлетворяет всем полевым уравнениям в декартовой системе координат, а так же граничным условиям. Не вижу причин ему не доверять.
Не понятно как авторы могли получить иное решение (в их вычислениях не разбирался).
Так же непонятна отсылка к принципу Сен Венана, который говорит о том, что при удалении от границы с распределенными на ней усилиями, конкретное распределение усилий все слабее влияет на поле напряжений.
Если решение противоречит экспериментам, то на мой взгляд, необходимо подумать о правомерности гипотезы плоской деформации, а не о неверности решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача ляме для сплошного цилиндра
Сообщение12.04.2018, 12:52 
Аватара пользователя


31/08/17
1461
ясно, что при $r=0$ не определена система цилиндрических координат, поэтому там могут возникать какие-угодно артефакты, и с предельными переходами надо быть аккуратней.
На такого сорта конференциях могут возникать любые сенсации. Зачем только в этом всем ковыряться? Ведь невооруженным глазом видно, что они там дикие совсем:
Цитата:
Candidate. Technical. Science, dotsent

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Ламе для сплошного цилиндра
Сообщение10.09.2018, 01:56 


15/04/10
949
г.Москва
И все таки . пусть СПЛОШНОЙ ЦИЛИНДР находится под действием давления (сжатие).
А)Какая ВСЕ-ТАКИ БУДЕТ ЭПЮРА ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ в зависимости от радиуса?
Б)пусть к концам приложена нагрузка - сила F или скручивающий момент M (таких учебных задач сколько угодно)
Найти наиболее опасную точку и рассчитать для нее эквивалентное напряжение и коэф запаса прочности
При ответе как на 1 так и на 2 вопросы возможны 2 варианта
1) А) эпюра равномерна $\sigma_t(r)=-p$ Б) точки как внутри так и на поверхности вала нагружены одинаково (равноопасны)
2)А) эпюра $\sigma_t(r)$ неравномерна. На поверхности $\sigma_t(r)=-p$ в центре
$\sigma_t(r)=-2p$ Б)наиболее опасная точка в центре вала (нормальные напряжения от растягивающей силы одинаковы по сечению)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Ламе для сплошного цилиндра
Сообщение10.09.2018, 08:22 


27/10/17
47
eugrita в сообщении #1337792 писал(а):
И все таки . пусть СПЛОШНОЙ ЦИЛИНДР находится под действием давления (сжатие).
А)Какая ВСЕ-ТАКИ БУДЕТ ЭПЮРА ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ в зависимости от радиуса?
Б)пусть к концам приложена нагрузка - сила F или скручивающий момент M (таких учебных задач сколько угодно)
Найти наиболее опасную точку и рассчитать для нее эквивалентное напряжение и коэф запаса прочности
При ответе как на 1 так и на 2 вопросы возможны 2 варианта
1) А) эпюра равномерна $\sigma_t(r)=-p$ Б) точки как внутри так и на поверхности вала нагружены одинаково (равноопасны)
2)А) эпюра $\sigma_t(r)$ неравномерна. На поверхности $\sigma_t(r)=-p$ в центре
$\sigma_t(r)=-2p$ Б)наиболее опасная точка в центре вала (нормальные напряжения от растягивающей силы одинаковы по сечению)


На вопрос по поводу распределения тангенциального напряжения в круглом цилиндре под действием радиального давления я уже отвечал.

По поводу растяжения круглого цилиндра вдоль оси и кручения. Такие нагружения не приводят к возникновению тангенциального напряжения. Растяжение приводит к возникновению однородного одноосного напряженного состояния. Кручение круглого цилиндра приводит к возникновению касательных напряжений (и только их) $\sigma_{r\theta}(r)=\frac{2M}{\pi R^4}r$, $M$ - приложенный момент, $R$ - радиус цилиндра.

Что касается комбинаций различных нагружений. Задача линейна, поэтому линейная комбинация решений (напряжений, деформаций, перемещений) тоже будет решением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача ляме для сплошного цилиндра
Сообщение11.09.2018, 08:14 


15/04/10
949
г.Москва
optimist в сообщении #1303460 писал(а):
Решение уравнений Ламе (уравнения линейной изотропной теории упругости в перемещениях) в цилинрической системе координат в случае плоской деформации и гипотезы
$\{\boldsymbol{u}\}^i = \{ u_r(r) , 0 , 0 \}$
с граничными условиями
$ u_r(0) = 0, \sigma_{rr}(R) = \lambda \frac{u_r(R)}{R} + (\lambda + 2\mu) u_r'(R) = \sigma $
, $\lambda,\ \mu$ - константы Ламе, $R$ - радиус цилиндра,
имеет вид
$u_r(r) = \frac{1}{2(\lambda + \mu)} r \sigma$
, что дает компоненты тензора напряжений в цилиндрической системе координат
$\sigma_{rr}(r) = \sigma,\ \sigma_{\theta \theta}(r) = \sigma,\ \sigma_{zz}(r) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\sigma $
, недиагональные компоненты нулевые.
Очевидно, в декартовой системе координат
$\sigma_{xx}(r) = \sigma,\ \sigma_{yy}(r) = \sigma,\ \sigma_{zz}(r) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\sigma $

Хорошо. Граничное условие $u_r (0)=0 $ я вроде понимаю это отсутствие радиальных перемещений в центре. А что такое \sigma_{rr}(R) = \lambda \frac{u_r(R)}{R} + (\lambda + 2\mu) u_r'(R) = \sigma $ ?

-- Вт сен 11, 2018 09:42:25 --

Цель моего вопроса понять различия в краевых (граничных) условиях для 2 моделей если они есть
а)сплошного цилиндра б)полого цилиндра с очень малым (бесконечно малым ) внутренним радиусом

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача ляме для сплошного цилиндра
Сообщение11.09.2018, 12:20 


27/10/17
47
eugrita в сообщении #1338033 писал(а):
А что такое \sigma_{rr}(R) = \lambda \frac{u_r(R)}{R} + (\lambda + 2\mu) u_r'(R) = \sigma $ ?

Это граничное условие на напряжение, записанное в перемещениях, для этого нужно в закон гука подставить деформации $\boldsymbol{\varepsilon}=\frac{1}{2}\left(\nabla\boldsymbol{u} + (\nabla\boldsymbol{u})^T\right)$.

По полому цилиндру. Уравнение равновесия, записанное в перемещениях (уравнение Ламе) имеет вид
$r^2u_r''(r)+ru_r'(r)-u_r(r)=0$
и граничные условия
\sigma_{rr}(R_1) = \lambda \frac{u_r(R_1)}{R_1} + (\lambda + 2\mu) u_r'(R_1) = 0, $
\sigma_{rr}(R_2) = \lambda \frac{u_r(R_2)}{R_2} + (\lambda + 2\mu) u_r'(R_2) = \sigma, $
$R_1$ и $R_2$ - внутренний и внешний радиусы.
Решение
$u_r(r)=\frac{\mu R_2^2r^2+(\lambda+\mu)R_1^2R_2^2}{2(R_2^2-R_1^2)\mu(\lambda+\mu)r}\sigma,$
откуда напряжения
$\sigma_{rr}(r) = \frac{R_2^2(r^2 - R_1^2)}{(R_2^2 - R_1^2)r^2} \sigma,\ \sigma_{\theta \theta}(r) = \frac{R_2^2(r^2 + R_1^2)}{(R_2^2 - R_1^2)r^2} \sigma,\ \sigma_{zz}(r) = \frac{R_2^2\lambda}{(R_2^2 - R_1^2)} \sigma. $
Если устремить $R_1 \rightarrow 0$, то решение будет стремиться к разрывному:
$\sigma_{rr}(r) = \left\{ \begin{aligned} \sigma&,\quad R_1<r\leqslant R_2 \\ 0&,\quad r=R_1 \end{aligned} \right. ,\ $\sigma_{\theta \theta}(r) = \left\{ \begin{aligned} \sigma&,\quad R_1<r\leqslant R_2 \\ 2\sigma&,\quad r=R_1 \end{aligned} \right.$
$\sigma_{zz}(r) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu} \sigma$
Если рассмотреть конечный маленький радиус $R_1$, то $\sigma_{rr}(r)$ при увеличении $r$, будет быстро возрастать с нуля почти до $\sigma$ и далее оставаться почти постоянной. $\sigma_{\theta \theta}(r)$ при увеличении $r$, будет быстро уменьшаться с $2\sigma$ почти до $\sigma$ и далее оставаться почти постоянной. Таким образом, распределение напряжений в цилиндре с полостью малого радиуса (расположенной в центре, хотя, наверное, это верно для любой малой полости) будет отличаться от распределения напряжений в сплошном цилиндре лишь в небольшой окрестности этой полости.

Теперь об опастности. Если напряжения около малой полости удовлетворяют условию текучести, то в малой окрестности полости возникнут пластические деформации, что приведет к релаксации напряжений около полости. Возникновение пластических деформаций в малой окрестности полости не приведет к, хоть сколько-нибудь, значимому изменению распределения напряжений в остальной части цилиндра. Таким образом, наличие малой полости в цилиндре не приведет к значимому изменению прочности (если под прочностью понимать нагрузку, которую может выдержать цилиндр, до того как начнется пластическое течение по всему цилиндру) цилиндра как целого, однако может служить источником зарождения трещин.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: profrotter, Парджеттер, photon, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group