Бесконечно много троек

[Ktina]

Доказать, что для каждого $n\in\mathbb{N}$ существует бесконечно много таких троек попарно различных натуральных чисел $(a, b, c)$, что $a+b+c$ и $abc$ являются $n$-ными степенями некоторых натуральных чисел.

Для $n=2$ такую бесконечную серию троек найти нетрудно. Пусть $k$ - нечётное натуральное число. Тогда тройка $(6^k,\; 2\cdot 6^k,\; 3\cdot 6^k)$ удовлетворяет условию задачи.

При $n=3$ тоже особых проблем нет - возьмём все тройки вида $(7^{3m-1},\; 2\cdot 7^{3m-1},\; 4\cdot 7^{3m-1})$, где $m\in\mathbb{N}$.

Как двигаться дальше? Пожалуйста, помогите решить.

[Ioda]

Сможете для 4-ой степени построить тройку?

[grizzly]

Del

[mihaild]

Вроде правильная же. Произведение - это $(2 \cdot 7^{m - 1})^3$, сумма - $(7^m)^3$.

[grizzly]

mihaild в сообщении #1337046 писал(а):

Вроде правильная же.

Я раньше удалил

И только что здесь было вообще правильное решение, кажется, для любого $n$ с одной небольшой опечаткой. Но исчезло. (Или я не успел всё проверить?)

[Ktina]

Ioda в сообщении #1337028 писал(а):

Сможете для 4-ой степени построить тройку?

Лично я не могу, но мне уже подсказали:

$$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4$$