2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Бесконечно много троек
Сообщение05.09.2018, 22:04 
Аватара пользователя
Доказать, что для каждого $n\in\mathbb{N}$ существует бесконечно много таких троек попарно различных натуральных чисел $(a, b, c)$, что $a+b+c$ и $abc$ являются $n$-ными степенями некоторых натуральных чисел.

Для $n=2$ такую бесконечную серию троек найти нетрудно. Пусть $k$ - нечётное натуральное число. Тогда тройка $(6^k,\; 2\cdot 6^k,\; 3\cdot 6^k)$ удовлетворяет условию задачи.

При $n=3$ тоже особых проблем нет - возьмём все тройки вида $(7^{3m-1},\; 2\cdot 7^{3m-1},\; 4\cdot 7^{3m-1})$, где $m\in\mathbb{N}$.

Как двигаться дальше? Пожалуйста, помогите решить.

 
 
 
 Re: Бесконечно много троек
Сообщение06.09.2018, 18:30 
Сможете для 4-ой степени построить тройку?

 
 
 
 Re: Бесконечно много троек
Сообщение06.09.2018, 18:55 
Аватара пользователя
Del

 
 
 
 Re: Бесконечно много троек
Сообщение06.09.2018, 19:10 
Аватара пользователя
Вроде правильная же. Произведение - это $(2 \cdot 7^{m - 1})^3$, сумма - $(7^m)^3$.

 
 
 
 Re: Бесконечно много троек
Сообщение06.09.2018, 19:11 
Аватара пользователя
mihaild в сообщении #1337046 писал(а):
Вроде правильная же.
Я раньше удалил :D

И только что здесь было вообще правильное решение, кажется, для любого $n$ с одной небольшой опечаткой. Но исчезло. (Или я не успел всё проверить?)

 
 
 
 Re: Бесконечно много троек
Сообщение06.09.2018, 22:41 
Аватара пользователя
Ioda в сообщении #1337028 писал(а):
Сможете для 4-ой степени построить тройку?

Лично я не могу, но мне уже подсказали: $$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4$$

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group