Во сколько раз могло увеличиться произведение?

[kotenok gav]

waxtep в сообщении #1336139 писал(а):

что $c_g=\operatorname{O}(k^2)$

Ну это элементарно: $\frac{c_g}{k^2}<\frac{c}{k^2}=1-\frac{2}{k}<1$.

[waxtep]

kotenok gav, что $c_g$ растет не быстрее $k^2$ и в самом деле очевидно. А можно ли доказать, что оно растет не медленнее, чем $k^2$? В смысле, вдруг оно при больших $k$ ведет себя как $k$ или там $k^{3/2}$ и т.п.

[waxtep]

waxtep в сообщении #1336139 писал(а):

до доказательства, по-моему, немного не дотягивает

А, до доказательства нетрудно дотянуть, заметив, что при $k\ge4$:
а) $n=\left\lfloor\dfrac{k^2-2k}2\right\rfloor$ действительно возможно только при $x=y=1$
б) подстановка $z=2k-t$ со всей очевидностью показывает ненатуральность $t$

[kotenok gav]

waxtep в сообщении #1336146 писал(а):

А можно ли доказать, что оно растет не медленнее, чем $k^2$? В смысле, вдруг оно при больших $k$ ведет себя как $k$ или там $k^{3/2}$ и т.п.

То есть существует положительная константа $a$, такая что $\frac{c_g}{k^2}>a$?

[waxtep]

kotenok gav в сообщении #1336257 писал(а):

То есть существует положительная константа $a$, такая что $\frac{c_g}{k^2}>a$?

немного более аккуратно, $\exists a>0:\forall \varepsilon>0\quad\exists k_0=k_0(\varepsilon),\forall k>k_0\quad\left|\dfrac{c_g}{k^2}-a\right|\le\varepsilon$, или, житейским языком, оно еще должно быть все ближе к $a$ с ростом $k$, для достаточно больших $k$

[kotenok gav]

Так вы про существование предела говорили?

[waxtep]

kotenok gav, да:

waxtep в сообщении #1336074 писал(а):

и можно ребром ставить вопрос о существовании и значении $\underset{k\to\infty}\lim\dfrac{c_g}c$

[waxtep]

(мотивация)

немного неудобно зацикливаться на этой задаче, но уж очень она такая...детективная! То произведение увеличивается при уменьшении сомножителей, то из-за пятерки "внезапно" выскакивает семерка. И дедуктивному методу умеренно поддается

Еще одно "большое" недостижимое $n=k^2-3k$. Его легко найти подстановкой $n=k^2-2k-r$ в предположении малости $r$ (так что $x=y=1$). В получающемся уравнении $(r+1)z=k(k-1)^2$ естественно взять $r=k$.

Резюмируя разбросанное по топику: уравнение $(k-x)(k-y)(z-k)=nxyz$
- при $n\in\{1,2,n_{\max}=k^2-2k\}$ имеет решение в натуральных числах для любого $k\ge3$
- при $n\in\left\{\left\lfloor n_{\max}/2\right\rfloor,n_{\max}-k\right\}$ не имеет решения в натуральных числах для любого $k\ge4$