Функция, для которой не существует графика

[Levy]

arseniiv в сообщении #1336204 писал(а):

И кроме того непонятно (замкнутую функцию?).

Тоже не знаю, как назвать функцию, график которой замкнут?

(Оффтоп)

Пытался ответить на вопрос темы.

[arseniiv]

Levy в сообщении #1336208 писал(а):

Тоже не знаю, как назвать функцию, график которой замкнут?

Замкнут как подмножество топологического пространства или в каком-то ещё понимании?

Просто вот вы написали:

Levy в сообщении #1336200 писал(а):

Например:
$x^2+y^2=4$

так это вообще не функция, это уравнение. А множество его решений — не график никакой функции. Некоторые его подмножества будут графиками некоторых функций, и среди этих графиков будут как замкнутые в стандартной топологии $\mathbb R^2$, так и нет (всё множество целиком тоже замкнуто — это да).

Levy в сообщении #1336208 писал(а):

Пытался ответить на вопрос темы.

А зачем это делать, если ТС не проявляет к ней внимания? Вот появится, пояснит что имел в виду (тут уже достаточно накомментировали, чтобы у него появились идеи) — тогда и будем помогать. А пока разъяснять нечего и некому.

[kotenok gav]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1336177 писал(а):

Гелбаум, Олмстед, Контрпримеры в анализе, «Разрывная линейная функция».

А на какой странице?

[Munin]

angor6 в сообщении #1336118 писал(а):

Я думаю, что по меньшей мере проблематично построить график отображения, если множества, между элементами которых задано соответствие, не являются числовыми. :-)

Я видел график дежурств, на котором множество дней было отображено во множество людей.

[xjar1]

Someone в сообщении #1336174 писал(а):

xjar1 в сообщении #1336154 писал(а):

Визуально график функции Дирихле … изображается как две параллельные прямые.

Это в том смысле, что точки графика всюду плотно заполняют эти прямые?

xjar1 в сообщении #1336154 писал(а):

А есть функции, график которых изображается как 3, 4, ... параллельные прямые?

А придумать самому?

xjar1 в сообщении #1336154 писал(а):

А функция, график которой заполняет всю область $xOy$?

Существует. Придумать не очень трудно, хотя чуть сложнее, чем предыдущие.

Пока придумал изображение трех параллельных прямых:

$$ f(x) = \begin{cases} 0, & x\in \mathbb I \backslash \mathbb A, \\ 1, & x\in \mathbb I \cap \mathbb A, \\ 2, & x \in \mathbb Q. \end{cases} $$

Где $\mathbb A$ -- алгебраические числа.

Как еще "добавить" прямых? Надо как-то делить множество $\mathbb Q$ или $\mathbb I$?

Пока в голову только приходит такая идея: (график -- 10 параллельных прямых, например)

$\varphi(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q})=0$
Числа заканчивающиеся на 1 переходят в 1
...
Числа заканчивающиеся на 9 переходят в 9

При должном масштабе будет похоже на параллельные прямые, но в отличии от функции Дирихле, прямые будут "более дырявые".

Насчет функции, , график которой заполняет всю область пока придумал только бред, вроде функции $n \sin{n x}$, где n -- довольно большое число.

Если не придумаю ничего лучше, посмотрю книгу Гелбаума и Олмстеда.

[grizzly]

xjar1 в сообщении #1336289 писал(а):

Числа заканчивающиеся на 1 переходят в 1

Число 1/7 у Вас на что заканчивается? Но идею можно развить, да.
Можете попытаться смотреть на что делится знаменатель несократимой дроби.

[Someone]

xjar1 в сообщении #1336289 писал(а):

Числа заканчивающиеся на 1 переходят в 1
...
Числа заканчивающиеся на 9 переходят в 9

Э-э-э… На какую цифру "заканчивается" число $\frac 13$?

xjar1 в сообщении #1336289 писал(а):

$$ f(x) = \begin{cases} 0, & x\in \mathbb I \backslash \mathbb A, \\ 1, & x\in \mathbb I \cap \mathbb A, \\ 2, & x \in \mathbb Q. \end{cases} $$

Что такое $\mathbb I$?

xjar1 в сообщении #1336289 писал(а):

Надо как-то делить множество $\mathbb Q$ или $\mathbb I$?

Делить надо множество действительных чисел. Все прочие играют здесь вспомогательную роль и не обязательны к употреблению.

[kotenok gav]

Someone в сообщении #1336296 писал(а):

Что такое $\mathbb I$?

Иррациональные.

[Someone]

(kotenok gav)

Я привык обозначать буквой $I$ отрезок $[0,1]$, а специальное обозначение для множества иррациональных чисел если и попадалось, то я его не запомнил.

[grizzly]

Someone в сообщении #1336296 писал(а):

Делить надо множество действительных чисел. Все прочие играют здесь вспомогательную роль и не обязательны к употреблению.

Наверное, лучше сказать "можно", а не "надо".

Что если сделать так.

(осторожно, здесь может быть идея решения)

Для составного числа $k$ через $f(k)$ обозначим наименьший собственный делитель числа $k$. Пусть $q$ -- несократимая дробь $\displaystyle \frac{m}{n}$, у которой числитель и знаменатель -- составные числа. Рассмотрим функцию, для которой $F(q)=\displaystyle \frac{f(m)}{f(n)}$. Во всех остальных (рациональных и иррациональных) точках функция равна 0. Будет ли график такой функции заполнять плотно всю плоскость? Я думаю, что будет.

[Someone]

grizzly в сообщении #1336314 писал(а):

Наверное, лучше сказать "можно", а не "надо".

Ну, мы же хотим определить функцию на множестве $\mathbb R$… Впрочем, сделать мы всё равно хотим одно и то же, и вопрос только в том, какими словами это описать.

grizzly в сообщении #1336314 писал(а):

Что если сделать так.

Я прикинул, вроде бы проходит, особенно если позаботиться об отрицательных числах. Но я не стал бы возиться с арифметическими функциями, а просто перенумеровал бы квадраты с рациональными координатами вершин (стороны параллельны осям координат) и в каждом выбрал бы точку с рациональными координатами, позаботившись о том, чтобы у всех абсциссы были разными. А в остальных точках можно доопределить как захочется. Впрочем, это дело вкуса.

[grizzly]

Someone
Спасибо!

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1336340 писал(а):

особенно если позаботиться об отрицательных числах

Что-то у меня невнимательность к мелким деталям усугубляется и распространяется на всё более крупные детали. Хочется надеяться, что это только из-за жары.

[gris]

Насчёт функции, график которой всюду плотен на плоскости. Мне сразу вспомнилось, как мне кто-то давно сказал: "Почти все функции такие." Может быть, немножко по другому поводу. Не нашёл по поиску , но согласен!

[arseniiv]

(kotenok gav)

kotenok gav в сообщении #1336261 писал(а):

А на какой странице?

У меня на 47, но кто знает, сколько переводных изданий книга перетерпела. Хотя стоило указать ещё и главу, чтобы все примеры не перебирать — вторая, пример 26 (но этот номер при изменениях вероятнее может меняться, чем номер главы).

[kotenok gav]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1336400 писал(а):

У меня на 47, но кто знает, сколько переводных изданий книга перетерпела. Хотя стоило указать ещё и главу, чтобы все примеры не перебирать — вторая, пример 26 (но этот номер при изменениях вероятнее может меняться, чем номер главы).

Спасибо! У меня тоже самое по страницам и примерам.