Во сколько раз могло увеличиться произведение?

[Ktina]

В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 5. Найдите наименьшее $n\in\mathbb{N}$, при котором произведение не могло увеличиться ровно в $n$ раз.

[Dmitriy40]

Ktina в сообщении #1335892 писал(а):

В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 5. Найдите наименьшее $n\in\mathbb{N}$, при котором произведение не могло увеличиться ровно в $n$ раз.

При уменьшении сомножителей произведение уменьшается. Соответственно ответ $n=\min(\mathbb{N})=1$.

-- 01.09.2018, 12:01 --

Забавно что при увеличении сомножителей на 5 ответ остаётся тем же, т.к. произведение непременно увеличится и значит не сможет стать ровно в один раз больше.

[kotenok gav]

И при уменьшении произведения тоже самое.

[gris]

В условии не сказано, что после вычитания должны быть натуральные разности.

$\dfrac{(2-5)\cdot(2-5)\cdot(9-5)}{2\cdot2\cdot9}=1$

То есть произведение таки может увеличиться в 1 раз. А вот ещё:

$\dfrac{(1-5)\cdot(1-5)\cdot(16-5)}{1\cdot1\cdot16}=11$

$\dfrac{(1-5)\cdot(1-5)\cdot(8-5)}{1\cdot1\cdot8}=6$

[Booker48]

Чушь написал.

[Ktina]

Наверное, всё-таки, придётся дать ответ, поскольку не зная ответа психологически трудно найти решение.
Или ещё подождать?

[Booker48]

Лучше подождать, принцип-то понятен.

[gris]

Написано коряво: Найти наименьшее $n$, при котором произведение не может увеличится в $n$ раз. Произведение от $n$ не зависит. Что тогда означают слова "при котором".
Имеется функция трёх натуральных аргументов: $f(k,l,m)=\dfrac{(k-5)\cdot(l-5)\cdot(m-5)}{k\cdot l\cdot m}$. Надо найти минимальное натуральное значение, которое она не принимает.
Скорее всего, это двойка. Навскидку не удаётся подобрать натуральную тройку, при которой произведение увеличивается ровно в два раза. А перебор делать неохота. Хотя он и не очень большой.
А как же ещё тогда можно ухитриться трактовать условие?

[Booker48]

Перебор совсем небольшой, т.к. первые два сомножителя меньше $3$. Несложно увидеть, что $n \in (1, 3, 4, 6, 8, 11, 12, 14)$

[waxtep]

$1,3,20$ как раз дает двойку

-- 01.09.2018, 17:22 --

а $1,2,30$ - пятерку

-- 01.09.2018, 17:43 --

в общем, семерка - наш кандидат.

[gris]

Вот пришлось тревожить счёты. Итак, на вопрос заглавия темы "Во сколько раз могло увеличиться произведение?" можно ответить:
$1,2,3,4,5,6,8,11,12,14,15$.
Рассуждений практически нет, только разве на вопрос: почему нельзя больше 15.

[waxtep]

gris в сообщении #1335936 писал(а):

Рассуждений практически нет

Может быть, можно сделать интереснее, заменив в исходном условии пятерку на произвольное натуральное $k$; тогда, например, тройка $\{1,k-2,2k-2\}$ дает увеличение в один раз (кхм), а $\{1,k-2,k^2-k\}$ - в два раза для любого $k$ (кстати даже необязательно натурального). Или еще так: существуют ли такие натуральные $k$, что произведение может увеличиться в любое из в принципе возможных $1,2,\ldots,k^2-2k$ раз?

-- 01.09.2018, 23:05 --

Угу, максимально возможное значение $n=k^2-2k$ тоже всегда достигается на $\{1,1,k(k-1)^2\}$

[waxtep]

waxtep в сообщении #1335979 писал(а):

существуют ли такие натуральные $k$, что произведение может увеличиться в любое из в принципе возможных $1,2,\ldots,k^2-2k$ раз?

ну, тут конечно $k=3$ такое единственное.
Если я не проврался в подсчетах, для небольших $k$ все это выглядит так:

$$\begin{tabular}{c|ccc|c} k & c & c_b & c_g & n_b^{\min} \\ \hline 3 & 3 & 0 & 3 & - \\ 4 & 8 & 1 & 7 & 4 \\ 5 & 15 & 4 & 11 & 7 \\ 6 & 24 & 8 & 16 & 11 \\ 7 & 35 & 13 & 22 & 9 \\ 8 & 48 & 22 & 26 & 12 \\ 9 & 63 & 27 & 36 & 11 \end{tabular}$$

Здесь, $c_b$ - количество недостижимых значений $n$, $c_g$ - достижимых, $c=c_b+c_g=k^2-2k$ - количество принципиально возможных значений $n$, и $n_b^{\min}$ - минимальное недостижимое $n$. Есть ощущение, что $c_g\sim k^2$ и можно ребром ставить вопрос о существовании и значении $\underset{k\to\infty}\lim\dfrac{c_g}c$

[kotenok gav]

waxtep в сообщении #1336074 писал(а):

Есть ощущение, что $c_g\sim k^2$

Тогда ваш предел равнялся бы единице, а он, очевидно, не может ей равняться.

[waxtep]

kotenok gav, я имел в виду, что $c_g=\operatorname{O}(k^2)$

Вот еще интересная штука, почему в исходной задаче семерка не работает для пятерки, наводящие соображения (до доказательства, по-моему, немного не дотягивает). Попробуем искать какое-нибудь "довольно большое" $n$, недостижимое при данном $k$, т.е. чтобы

$$(k-x)(k-y)(z-k)=nxyz$$

не имело решений в натуральных (все скобки в левой части также натуральны). Введем обозначения $a\equiv(k-x)(k-y),b\equiv xy$ и перепишем уравнение:

$$(a-nb)z=ka$$

"Большое" $n$ имеет шанс проявить себя только при $x=y=1$; а, чтобы по делителям левая и правая части отличались, сделаем $a-nb$ максимально возможным собственным делителем $a+1$ или $a+2$, то есть:

$$a-nb=\dfrac{a+2-a\bmod2}2$$

Отсюда получаем

$$n=\left\lfloor\dfrac{k^2-2k}2\right\rfloor$$

как кандидата в недостижимые $n$. Для $k=5$ (исходная задача) как раз $n=7$, ну и в целом для $4\le k\le9$ это работает