Задание с параметром

[Айват]

При каком наименьшем значении $a$ уравнение $x^3+3x^2-9x-a = 0$ имеет ровно два корня?
P.S. Это задание было предложено мне в школе на контрольной за 10 класс, после которой мы дружно ушли со школы на каникулы. Пробывал решить это задание, так и не решил. Нашел производную( не знаю надо ли вообще?) узнал, что это уравнение имеет два корня при любых $a$....Далее не продвинулся. К сожалению в школе, как решать такие задания не учили.

[TOTAL]

Подставьте больший корень производной, получите $a$.

[Айват]

TOTAL, извини за непонятливость, но я что -то не понял...какой еще большой корень?

[TOTAL]

Айват писал(а):

TOTAL, извини за непонятливость, но я что -то не понял...какой еще большой корень?

Я не говорил про большой корень.
Вы график этой функции нарисуйте качественно. В каком случае ровно два корня?

[Айват]

Я не строил график этой функции-очень сложно построить. Ровно два корня - когда график даной функции пересекается с осью ОХ в двух точках. Я нашел производную, нашел стационарные точки. Честно сказать не очень понимаю это дело... С постановкой. Я поставил больший корень 1 в само уравнение, и нашел значение параметра а=-5. Объясните пожалуйста смысл, того что я сделал.

[TOTAL]

Айват писал(а):

Я не строил график этой функции-очень сложно построить. Ровно два корня - когда график даной функции пересекается с осью ОХ в двух точках. Я нашел производную, нашел стационарные точки. Честно сказать не очень понимаю это дело... С постановкой. Я поставил больший корень 1 в само уравнение, и нашел значение параметра а=-5. Объясните пожалуйста смысл, того что я сделал.

Качественно нарисуйте график и поймёте.

[bubu gaga]

http://www.walterzorn.com/grapher/grapher_e.htm

Подставьте
x^3 + 3x^2 - 9x - 0
x^3 + 3x^2 - 9x - 25
x^3 + 3x^2 - 9x + 10

Посмотрите, что параметр a делает с графиком функции. Посчитайте количество точек пересечения.

[PAV]

PAV:

Айват, используйте принятые на форуме средства набора формул, как делают Ваши собеседники. В своем первом сообщении для этого достаточно лишь поставить в начале и в конце формулы со степенями знак доллара. Сделайте это.

[ewert]

bubu gaga:
боюсь, что это не поможет. Тут нужна именно привычка к качественному (в смысле не количественному) рисованию графиков. А ещё лучше бы просто знать, как может в принципе выглядеть график кубического многочлена.

Айват, раз уж Вы знаете, что такое производная -- то наверняка ведь вам что-то говорили и про использовании её для построения графиков. Ну хотя бы про связь между производной с одной стороны -- и возрастанием/убыванием, минимумами/максимумами с другой. Этого вполне достаточно для построения эскиза графика. А уж зная положение вершин, легко понять, при каких $a$ будет сколько корней.

------------------------------------------------
Да, только, конечно, тут подразумевается, что $a$ переносится в правую часть уравнения, после чего график строится только для левой.

[Профессор Снэйп]

bubu gaga писал(а):

http://www.walterzorn.com/grapher/grapher_e.htm

Спасибо за ссылку. Даже не знал, что в сети такие замечательные ресурсы бывают.

[Айват]

Я эскизы графиков набрасал. Понял, что от параметра в даном случае зависит насколько выше(или ниже) он будет лежать относительно оси ОХ. Ина графике же убедился, что параметр должен быть равен $a=-4$
Можно ли узнать у вас, правильно ли я сделал то, что точки максимума и минумума поставил в исходное уравнение, и нашел что $a=-5$ и $a=27$. Далее я рассуждал так:
Раз график функции сначала возрастает, потом убывает, и наконец, опять возрастает, то график будет пересекаться с осью ОХ, лишь тогда, когда точка минимума $x=1$ будет лежать ниже оси ОХ. Подставив в исходное уравнение я нашел, что $a=-5$, но при этом на самом деле уравнение имеет лишь один корень. Тогда я выбрал $a=-4$. Теперь скажите пожалуйста, почему так получилось? В смысле при подстановке точки минимума $x=1$, параметр $a=-5$ не удолетворяет условию

[ewert]

Айват писал(а):

Я эскизы графиков набрасал. Понял, что от параметра в даном случае зависит насколько выше(или ниже) он будет лежать относительно оси ОХ. Ина графике же убедился, что параметр должен быть равен $a=-4$
Можно ли узнать у вас, правильно ли я сделал то, что точки максимума и минумума поставил в исходное уравнение, и нашел что $a=-5$ и $a=27$. Далее я рассуждал так:
Раз график функции сначала возрастает, потом убывает, и наконец, опять возрастает, то график будет пересекаться с осью ОХ, лишь тогда, когда точка минимума $x=1$ будет лежать ниже оси ОХ. Подставив в исходное уравнение я нашел, что $a=-5$, но при этом на самом деле уравнение имеет лишь один корень. Тогда я выбрал $a=-4$. Теперь скажите пожалуйста, почему так получилось? В смысле при подстановке точки минимума $x=1$, параметр $a=-5$ не удолетворяет условию

Ничего не понятно. Тут принципиальный вопрос вот какой: при каких иксах достигаются точка максимума и точка минимума?

[Brukvalub]

Айват писал(а):

При каком наименьшем значении $a$ уравнение $x^3+3x^2-9x-a = 0$ имеет ровно два корня?

Чтобы график "не скакал" в зависимости от параметра, перепишите уравнение в виде $x^3+3x^2-9x=a $ , постройте график левой части и изучите его сечения прямыми $y=a $.

[Айват]

Ну $x_{max}=-3$, $x_{min}=1$

[ewert]

Айват писал(а):

Ну $x_{max}=-3$, $x_{min}=1$

Ну теперь воспользуйтесь советом Brukvalub'а, подставив эти точки в левую часть равенства.