Задача из Савченко на колебания плиты

[inevitablee]

Условие:

3.3.32. На горизонтальной плите лежит груз. Плита начинает двигаться
вверх, совершая по вертикали гармонические колебания с частотой $\omega$ и амплитудой
$A$. На какую высоту от начального положения плиты подскочит груз после
своего отрыва от ее поверхности?

Мой ход рассуждений.

Пусть $m$-масса шарика, а $M$- масса плиты. Направим ось X вниз и распишем условие отрыва для шарика:
$mg-N=ma$, отрыв при $N=0$, поэтому при отрыве $a=g$. Здесь можно воспользоваться формулой эллиптической связи: $(-g/a_1)^2+(v_x/v_1)^2=1$, где $a_1$ - максимальное ускорение плиты, а $v_1$ - максимальная скорость.

Известно, что $v_1=A\omega$, а $a_1=A\omega^2$, где $A$ - амплитуда колебания, а $\omega$ - циклическая частота колебаний, равна $\sqrt{k/(M+m)}$. Подставим это в первое условие и выразим скорость плиты(и шарика)$v_x$ в момент отрыва шарика:

$v_x^2=(A^2\omega^4-g^2)/\omega^2$.

Также известна формула $a_x=\omega^2 x$, связывающая координату тела и его ускорение в этой координате при колебаниях.
Отсюда $x=g/\omega^2$.

Далее распишем ЗСЭ для шарика в момент отрыва:

$mgx + (mv_x^2)/2=mgH$, где $H$ и есть искомая высота, отсчитываемая от линии начала движения плиты. Затем сюда подставляем значения $v_x$ и $x$. С ответом не совпадает. Что не так в моих рассуждениях?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- условие задачи тоже можно (и нужно) набрать в виде текста.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[DimaM]

inevitablee в сообщении #1335145 писал(а):

С ответом не совпадает.

Что именно не совпадает?
Учитываете ли вы, что начальное положение - это не положение равновесия при колебаниях?

[EUgeneUS]

Как всё сложно. И вот это к чему, зачем нам $k$?

inevitablee в сообщении #1335145 писал(а):

а $\omega$ - циклическая частота колебаний, равна $\sqrt{k/(M+m)}$.

Но что удивительно, если довести решение до ответа, получается, как у меня:
$\Delta h= \frac {1}{2} (\frac{A^2 \omega ^2}{g} + \frac{g}{\omega ^2})$

И еще надо условие наложить: $A > \frac{g}{\omega ^2}$, иначе шарик никогда не оторвется от плиты.
А в решебнике какой ответ?
Могут быть нюансы - с какой фазы плита начинает двигаться гармонически.

-- 30.08.2018, 12:35 --

DimaM в сообщении #1335523 писал(а):

Учитываете ли вы, что начальное положение - это не положение равновесия при колебаниях?

Ну вот. Как раз про:

EUgeneUS в сообщении #1335526 писал(а):

Могут быть нюансы - с какой фазы плита начинает двигаться гармонически.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1335526 писал(а):

А в решебнике какой ответ?

То задачник, а не решебник .
В ответе еще $+A$, это как раз про ваше замечание ниже.

[EUgeneUS]

DimaM
При некотором размышлении разумная фаза - единственная.

inevitablee
1. Запишите гармонический закон в общем виде: $x(t)=...$
2. Из условия $\dot{x}(0)=0$ - скорость массивной плиты не может измениться скачком, найдите фазу колебаний.
3. Зная её, найдите $x(0)$ - это и будет значение $x$, от которого нужно отсчитывать высоту отскока шарика, а не от начала координатной оси, которое Вы можете выбрать произвольно.

[inevitablee]

EUgeneUS
3.3.32.

$h=A+g/(2\omega^2)+ \omega^2A^2/2g$

У меня получается то же, что и у вас. А почему начальное положение - не положение равновесия при колебаниях? Я от него и отсчитывал амплитуду.

[EUgeneUS]

inevitablee

А почему Вы решили, что плита начинает совершать гармонические колебания начиная с положения равновесия?
Попробуйте рецепт из этого поста.

[inevitablee]

EUgeneUS
То есть может быть так, что она поднялась вверх и только потом начала колебания?

[EUgeneUS]

inevitablee
нет же.
Совсем по-простому.
До $t=0$ плита покоилась, после $t=0$ плита совершает гармонические колебания.
Так как плита массивная она не может изменить скорость моментально.
То есть в $t=0$ скорость плиты ноль.
А скорость ноль в крайних точках колебаний. По условию известно, что плита начала двигаться вверх, а значит в она начинает двигаться из крайней нижней точки.

Наглядно.
До $t=0$ $x=0$ (так выберем начало координат), после $t=0$ - график гармонических колебаний, про который известны только размах и частота, то есть его можно двигать вверх-вниз, вправо-влево. Его нужно состыковать с графиком $x=0$, так чтобы производная не имела разрыва.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[inevitablee]

1. Секунду, то есть положение равновесия достигается где-то на пути к верхней точке траектории, так?
2. Я не знаю, что значит "нужно состыковать с графиком $x=0$, так чтобы производная не имела разрыва."
3. Ну вот смотрите:

$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)$

$x'(t)=-A\omega \sin(\omega t + \varphi_0)$, куда подставим условие $x'(0)=0$.

$0=-A\omega \sin(0 + \varphi_0)$

$0=\sin(\varphi_0)$, откуда $\varphi_0=0$. Если это подставить в первое выражение и найти $x(0)$, то выйдет это:
$x(0)=A\cos(0)$, откуда $x(0)=A$. Это значит, что в начале он находится в амплитудном положении.

[DimaM]

inevitablee в сообщении #1335690 писал(а):

откуда $x(0)=A$. Это значит, что в начале он находится в амплитудном положении.

Не, нужно $x(0)=0,\;\dot{x}(0)=0,\;\ddot{x}(0)>0$, но к самому первому уравнению можно добавить константу.