Задача из Савченко на колебания плиты

[inevitablee]

Но я не понимаю, почему расписав то же самое через функцию $x(t)=A\sin(\omega t + \varphi_0)$ получится другой результат, а именно $\varphi_0=\pi/2$ и $x(0)=0$.

[DimaM]

inevitablee в сообщении #1335692 писал(а):

Но я не понимаю, почему расписав то же самое через функцию $x(t)=A\sin(\omega t + \varphi_0)$ получится другой результат, а именно $\varphi_0=\pi/2$ и $x(0)=0$.

Например, потому что в этом случае $x(0)=A\neq 0$.

[inevitablee]

EUgeneUS в сообщении #1335547 писал(а):

DimaM
При некотором размышлении разумная фаза - единственная.

inevitablee
1. Запишите гармонический закон в общем виде: $x(t)=...$
2. Из условия $\dot{x}(0)=0$ - скорость массивной плиты не может измениться скачком, найдите фазу колебаний.
3. Зная её, найдите $x(0)$ - это и будет значение $x$, от которого нужно отсчитывать высоту отскока шарика, а не от начала координатной оси, которое Вы можете выбрать произвольно.

Так то, что вы сейчас написали - это начальные условия? И что я найду тогда?

-- 31.08.2018, 10:16 --

DimaM
То есть нужно принять $x(0)=0 $ как начальное условие?

[EUgeneUS]

inevitablee в сообщении #1335690 писал(а):

$x(t)=\cos(\omega t+\varphi_0)$

Написав это уравнение, Вы выбрали начало координатной оси в средней точке колебаний. (Давайте уже избавимся от слов "положение равновесия", возможно они Вас путают).

inevitablee в сообщении #1335690 писал(а):

$0=\sin(\varphi_0)$, откуда $\varphi_0=0$.

Это не все решения. Там есть еще решение $\varphi_0 = \pi$.
Когда Вы наложите условие: $\ddot{x}(0)>0$ - плита начинает двигаться вверх, то выберется второе решение.
Это если ось $Ox$ направлена вверх, если она направлена вниз - получится по сути всё тоже самое, только несколько непривычно, например, положительные значения $x$ - будут соответствевать нижним, а отрицательные - верхним.

DimaM в сообщении #1335691 писал(а):

Не, нужно $x(0)=0,\;\dot{x}(0)=0,\;\ddot{x}(0)>0$, но к самому первому уравнению можно добавить константу.

"Что воля, что неволя - всё одно" (с)
Это одно и тоже, только различается выбор нуля на оси.

1. Либо прибиваем ноль к среднему положению колебаний, тогда в первом уравнении нет добавочного слагаемого, но $x(0) \ne 0$
2. Либо прибиваем ноль к положению, где плита покоилась до начала колебаний, тогда в первом уравнении есть добавочное слагаемое, а $x(0) = 0$

ТС важно понять: положение равновесия, где плита покоилась до начала колебаний, и среднее положения колебаний (которое выше называлось "положение равновесия") - это разные положения, и нельзя ноль прибить сразу в два места.

-- 31.08.2018, 10:23 --

inevitablee в сообщении #1335697 писал(а):

То есть нужно принять $x(0)=0 $ как начальное условие?

Сначала ответьте на вопрос - где у Вас ноль оси $Ox$?

[inevitablee]

EUgeneUS
Ноль я выбрал в положении, где плита покоилась до начала колебаний. А вы под добавочным слагаемым имеете в виду $\varphi_0$?
Ааа, стоп, вы имеете в виду $x(t)=A\cos(\omega t + \varphi_0)+x_1$, где $x_1$ - и есть это слагаемое?

[DimaM]

inevitablee в сообщении #1335697 писал(а):

То есть нужно принять $x(0)=0 $ как начальное условие?

Конечно.

[EUgeneUS]

inevitablee в сообщении #1335700 писал(а):

Ноль я выбрал в положении, где плита покоилась до начала колебаний. А вы под добавочным слагаемым имеете в виду $\varphi_0$?
Ааа, стоп, вы имеете в виду $x(t)=A\cos(\omega t + \varphi_0)+x_1$, где $x_1$ - и есть это слагаемое?

Именно!
Если Вы выбрали ноль, где плита покоилась до начала колебаний, то Вы обязаны добавить этот $x_1$. А потом найти его, используя условие $x(0) = 0$. Это условие означает, что в момент $t=0$ плита не телепортировалась.

[inevitablee]

EUgeneUS
Я уже понял, что положение равновесие и положение начала колебаний - не одно и то же. Хорошо, я выбираю начало координат в точке, где плита покоится до колебаний и получается, что я не имею права писать уравнение $x(t)=A\cos(\omega t + \varphi_0)$, т.к оно описывает колебания, подразумевая, что начало координат совпадает с положением равновесия. Так? И поэтому я должен докинуть $x_1$

[EUgeneUS]

inevitablee
Да.

-- 31.08.2018, 10:46 --

Потом Вы должны
а) найти его
б) вспомнить, что первую часть задачи Вы решали, считав началом координат среднюю точку колебаний, и относительно неё нашли высоту отскока шарика.

[inevitablee]

EUgeneUS
Я нашел его. $x_1=A$ и это очевидно, ведь расстояние до положения равновесия из амплитуды и есть амплитуда. И теперь ясно, что нужно просто к тому результату добавить $A$, т.к это и будет высотой от точки начала колебаний. Если эту задачу решать вот именно с начала правильно, то в формуле эллиптической связи вместо $(x/A)^2$ должно быть $((x/A)-x_1)^2$, я верно понимаю?

-- 31.08.2018, 11:17 --

DimaM в сообщении #1335693 писал(а):

inevitablee в сообщении #1335692 писал(а):

Но я не понимаю, почему расписав то же самое через функцию $x(t)=A\sin(\omega t + \varphi_0)$ получится другой результат, а именно $\varphi_0=\pi/2$ и $x(0)=0$.

Например, потому что в этом случае $x(0)=A\neq 0$.

И да, я тут накосячил, там же $\sin(\pi/2)=1$

[DimaM]

inevitablee в сообщении #1335710 писал(а):

Если эту задачу решать вот именно с начала правильно, то в формуле эллиптической связи вместо $(x/A)^2$ должно быть $((x/A)-x_1)^2$, я верно понимаю?

Именно так.
Кстати, каков физический смысл этой формулы?

[inevitablee]

DimaM
А в других слагаемых формулы эллиптической связи, а также в формулах для максимальной скорости и ускорения через частоту и амплитуду ничего не изменится, так при дифференцировании уравнения гармонических колебаний слагаемое $x_1$ исчезает

[EUgeneUS]

inevitablee в сообщении #1335710 писал(а):

Если эту задачу решать вот именно с начала правильно, то в формуле эллиптической связи вместо $(x/A)^2$ должно быть $((x/A)-x_1)^2$, я верно понимаю?

я решал не через эллиптическую связь. Но исходя из соображений размерности, у Вас ошибка: $x/A$ - безразмерная величина, а Вы из неё отнимаете метры ($x_1$).

[inevitablee]

DimaM
Ну, физический смысл в том, что когда это слагаемое максимально, то есть когда $x=A$, то второе слагаемое минимально, то есть равно нулю и в сумме они всегда дают единицу, и наоборот.

-- 31.08.2018, 11:37 --

Формула эллиптической связи выводится из тригонометрического тождества для самого уравнения гармонических колебаний и его производного.

$\sin^2(\omega t)+\cos^2(\omega t)=1$

[DimaM]

inevitablee в сообщении #1335715 писал(а):

Ну, физический смысл в том, что когда это слагаемое максимально, то есть когда $x=A$, то второе слагаемое минимально, то есть равно нулю и в сумме они всегда дают единицу, и наоборот.

Это математический смысл.
А мой вопрос был про физический.

(Подсказка)

Это закон сохранения энергии.