Интегральная сумма

[DeBill]

GAA в сообщении #1333905 писал(а):

Что мешает?

Ой, а пачему второе равенство верно?

[GAA]

Ой, ну, от материала лекций [или рекомендованного учебника] зависит. Без строгости, посмотрев на картинку, можем написать

$\int\limits_{1/n}^{2+1/n} \frac x {x+n}dx - \int\limits_0^2 \frac x {x+n} dx= o(1/n)$, т.е. $\sum\limits_{k=0}^{2n} \frac {k/n} {k/n +n} \frac 1 n = \int\limits_0^2 \frac x {x+n}dx + o(1/n)$

[ex-math]

Обычно когда пишут "сведите к интегральной сумме" подразумевается, что предел выпишется через интеграл по определению. Здесь же такое не проходит, т.к. функция зависит от $n$, и в итоге все равно пользуемся оценками, но более сложными.

[GAA]

ex-math, спасибо. Да, свести точно к интегральной сумме, по крайней мере, легко не получается. И не страшно. Формально получаем $\lim\limits_{n \to \infty} nF(n)$, где $F(n)$ — интеграл. Предел легко вычисляется. Остаётся доказать законность и это делается очевидным, хоть и немного нудным способом. Т.е., действуя по очевидной схеме, приходим к результату.

Конечно, лучше работать не руками, а головой. Но если не получается головой, то можно хотя бы руками. А потом можно (и даже нужно) задуматься и попробовать улучшить (упростить) решение. Как-то так.
(И случаев, когда точно к интегральной не получается свести, гораздо больше случаев, когда свести получается.)

-- Thu 23.08.2018 08:19:24 --

На всякий случай. Я пытался ответить на вопрос ТС

Tiberium в сообщении #1333873 писал(а):

Насчет оценки сверху и снизу — есть ли вообще какой-то общий способ оценки? Или это творческий процесс? :) Потому что одно дело понять совет, а другое дело — самому догадаться, что нужно сверху и снизу зажать интеграл, так ещё и подобрать необходимые оценки.

[ewert]

Tiberium в сообщении #1333873 писал(а):

В указаниях к этим задачам сказано: "Воспользуйтесь тем, что рассматриваемые суммы мало отличаются от интегральных сумм". Видимо, я слишком буквально воспринял совет :)

Видимо, недостаточно буквально. Поскольку мы "знаем", что $k$ внизу можно пренебречь, то самое буквальное прочтение совета -- это вычесть сумму $\sum\frac{k}{n^2}$ (которая воистину интегральна, не считая одного малого слагаемого) из исходной. Полученная разность стремится к нулю уже тривиальным образом (вверху $k^2$, внизу $n^4$).