Интегральная сумма

[Tiberium]

$$\lim\sum\limits_{0\leqslant{k}\leqslant{2n}}} {\frac{k}{k+n^{2}}}$$

Не могу сообразить, под интегральную сумму какой функции здесь можно подогнать. Когда в числителе был $k^2$, все было просто, а в этом случае как-то неочевидно.

[Евгений Машеров]

А на k

(Оффтоп)

числитель и знаменатель, уточняет прапорщик Ясненько

поделить? (особо рассмотрев первое слагаемое)

[Tiberium]

Евгений Машеров в сообщении #1333851 писал(а):

А на k

Хм. Это не особо прояснило ситуацию.

[Tiberium]

$$\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{0\leqslant{k}\leqslant{2n}} {\frac{k}{k^{2}+n^{2}}}$$

Раз у нас $k$ пробегает значения от $0$ до $2n$, правильно ли я понимаю, что мы записываем интегральную сумму для функции $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$ на отрезке $[0,2]$?

Получается, ответ: $\frac{1}{2}\ln{5}$

В задачнике ответ - $\frac{1}{2}\ln{2}$

Где я погорячился?

[SomePupil]

Возможно, в числителе пропущен множитель $n$, и тогда у вас все верно. В противном случае это не интегральная сумма.

[ex-math]

Я полагаю, в задачнике опечатка. У Вас правильный ответ.

[Tiberium]

SomePupil в сообщении #1333865 писал(а):

Возможно, в числителе пропущен множитель $n$, и тогда у вас все верно. В противном случае это не интегральная сумма.

Не совсем понял. Если мы разделим отрезок $[0,2]$ на $2n$ кусочков с шагом $\frac{1}{n}$, то получим как раз интегральную сумму для $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$ на $[0,2]$. Внутри суммы будет $f(\frac{k}{n})\frac{1}{n}$.

Или я где-то накосячил?

-- 22.08.2018, 18:12 --

ex-math в сообщении #1333866 писал(а):

Я полагаю, в задачнике опечатка. У Вас правильный ответ.

Спасибо! Есть подозрение, что в задачнике верхний индекс суммирования сделали $2n$, а ответ дали для $n$. Немного сложнее в следующей задаче, где в знаменателе не $k^2+n^2$, а $k+n^2$. Но этот вопрос я задал в другой теме:)

[SomePupil]

Tiberium в сообщении #1333867 писал(а):

Или я где-то накосячил?

Это я накосячил) забыл про множитель $1/n$.

[thething]

Tiberium в сообщении #1333840 писал(а):

Не могу сообразить, под интегральную сумму какой функции здесь можно подогнать.

Тут, видимо, надо оценить интегралами сверху и снизу. Типа так: $\int\limits_{k-1}^{k}\frac{x}{x+n^2}dx<\frac{k}{k+n^2}<\int\limits_{k}^{k+1}\frac{x}{x+n^2}dx$

[ex-math]

Достаточно просто оценить дробями: $\frac k{n^2}$ сверху и $\frac k{(n+1)^2}$ снизу.

[Tiberium]

thething в сообщении #1333870 писал(а):

Тут, видимо, надо оценить интегралами сверху и снизу. Типа так:

Спасибо. Получается, что, в отличие от второго примера, здесь все нельзя хитро свернуть в интегральную сумму. В указаниях к этим задачам сказано: "Воспользуйтесь тем, что рассматриваемые суммы мало отличаются от интегральных сумм". Видимо, я слишком буквально воспринял совет :)

Насчет оценки сверху и снизу — есть ли вообще какой-то общий способ оценки? Или это творческий процесс? :) Потому что одно дело понять совет, а другое дело — самому догадаться, что нужно сверху и снизу зажать интеграл, так ещё и подобрать необходимые оценки.

[ex-math]

Так а какой ответ у Вас?

В данном случае знаменатель асимптотически равен $n^2$, то есть $k$ там погоды не делает, ну мы ее и выкинули.

[Tiberium]

ex-math в сообщении #1333874 писал(а):

Так а какой ответ у Вас?

Ну, я долго возился в попытках "увидеть" интегральную сумму. С Вашими оценками получилось совсем просто. По "теореме о трех полицейских" получаем, что искомый предел равен $2$.

[thething]

Tiberium в сообщении #1333873 писал(а):

В указаниях к этим задачам сказано: "Воспользуйтесь тем, что рассматриваемые суммы мало отличаются от интегральных сумм". Видимо, я слишком буквально воспринял совет :)

Ну чётко же сказано, не привести к интегральным суммам (или необязательно приводить), а увидеть малое отличие.. Вообще, в этом примере функция монотонна, поэтому стандартный ход -- получить оценку через интегралы. Ну или оценить сверху и снизу как-то иначе, тут уже творчество.

-- 22.08.2018, 17:55 --

Tiberium в сообщении #1333876 писал(а):

По "теореме о трех полицейских"

Откуда третий появился?

[GAA]

Tiberium в сообщении #1333873 писал(а):

Получается, что, в отличие от второго примера, здесь все нельзя хитро свернуть в интегральную сумму.

Что мешает?
$\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^{2n} \frac k {k +n^2} = \lim\limits_{n \to \infty} n \sum\limits_{k=0}^{2n} \frac {k/n} {k/n +n} \frac 1 n = \lim\limits_{n \to \infty} n \int\limits_0^2 \frac x {x+n} dx = 2.$