2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача по топологии
Сообщение26.08.2018, 21:23 


26/08/18
7
В начале книги "Элементарна топология" дошел до такой задачи: Перечислите все наборы подмножеств трехэлементного множества, такие, что существуют топологии, в которых эти наборы являются полными наборами замкнутых множеств, но не знаю как решить, даже не понятно что имеется в виду под полными наборами.
Была мысль просто составить множество из трех элементов и составлять топологии из самого множества, пустого множества и дополнениям к элементам, но как-то не очень получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение26.08.2018, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17239
Москва
vsgvsg в сообщении #1334727 писал(а):
Перечислите все наборы трехэлементного множества, такие, что существуют топологии, в которых эти наборы являются полными наборами замкнутых множеств
Кажется, одно слово пропущено, и должно быть "… все наборы подмножеств трехэлементного множества …". Вас просят перечислить все топологии, возможные на множестве из трёх элементов, и для каждой такой топологии выписать все замкнутые подмножества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение27.08.2018, 00:34 


26/08/18
7
Т.е если $X=(A; B; C)$ - трехэлементное множество, $F=(X; \varnothing; X\backslash A)$ - одна из топологий на $X$, но $X$ и $\varnothing$- замкнуты, и эти элементы должны быть в каждой топологии, значит все что нужно это перебрать все возможные?!
(еще $A$ - замкнуто т.к дополнение открыто)

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение27.08.2018, 01:48 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10609
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение27.08.2018, 22:55 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10609
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение27.08.2018, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
4026
Москва
vsgvsg в сообщении #1334765 писал(а):
$F=(X; \varnothing; X\backslash A)$

Это такой странный способ записать множество $\{\varnothing, X, X \setminus \{A\}\}$?
Да, это одна из топологий на $X$. Какие в ней множества открыты? Какие замкнуты?
Какие еще есть топологии на $X$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение28.08.2018, 01:27 


26/08/18
7
Найти все возможные топологии и описать элементы я понимаю как, я не понимаю что они имеют в виду под полными наборами замкнутых множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение28.08.2018, 01:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
4026
Москва
Полный набор замкнутых множеств для данной топологии - все множества, замкнутые в данной топологии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение28.08.2018, 01:36 


26/08/18
7
Понял, спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение19.03.2020, 12:46 


19/03/20
3
Хочу поднять тему, чтобы не создавать новый тред. Топологий на трехэлементном множестве - 29. Каждая топология образует наборы замкнутых подмножеств, которые являются полными наборами замкнутых подмножеств на данной топологии. Т.е. наборов подмножеств, которые необходимо найти в задаче- также 29. В свою очередь, в конце книги дан ответ-14. Почему не каждый набор замкнутых подмножеств является полным набором замкнутых подмножеств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение19.03.2020, 16:20 
Заслуженный участник


14/10/14
807
Unname35 в сообщении #1445602 писал(а):
В свою очередь, в конце книги дан ответ-14.
Думаю, что это ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение19.03.2020, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17239
Москва
Unname35 в сообщении #1445602 писал(а):
Топологий на трехэлементном множестве - 29.
Если с точностью до гомеоморфизма — то $9$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение19.03.2020, 17:02 


02/05/19
393
Someone в сообщении #1445646 писал(а):
Если с точностью до гомеоморфизма — то $9$.

Решил их посчитать.

(Оффтоп)

1. Дискретная топология,
2. Антидискретная топология,

Топологии, содержащие кроме $X$ и $\varnothing$

3. Одноэлементное подмножество (таких $3$ экземпляра),
4. Двухэлементное подмножество ($3$),
5. Одноэлементное подмножество и его дополнение ($3$),
6. Два одноэлементных подмножества и их объединение ($3$),
7. Двухэлементное подмножество и его одноэлементное подмножество ($6$),
8. Два двухэлементных подмножества и их пересечение ($3$),
9. Два одноэлементных и два двухэлементных подмножества ($6$ экземпляров).

В Ответах сказано:
Цитата:
Для контроля укажем лишь, что всего существует четырнадцать таких наборов.
Откуда могла взяться эта цифра — для меня загадка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение20.03.2020, 02:42 
Заслуженный участник


31/12/15
838
Почему-то никто не рассказывает, что топологии на конечном множестве - это предпорядки. А предпорядок - это вроде порядка, но не обязательно выполнена аксиома
$A\leqslant B \wedge B\leqslant A \Rightarrow A=B$
По каждой топологии можно задать предпорядок
$A\leqslant B$ если каждое открытое множество, содержащее $A$, содержит $B$ (равносильно, если каждое замкнутое множество, содержащее $B$, содержит $A$, равносильно, если $A$ принадлежит замыканию $\{B\}$)
По предпорядку задаётся топология: множество открыто, если вместе с каждой своей точкой содержит все большие её (равносильно, множество замкнуто, если вместе с каждой своей точкой содержит все меньшие её). Конечность множества важна тем, что пересечение любого семейства открытых множеств открыто. Предпорядок является порядком, если топология удовлетворяет самой слабой аксиоме отделимости $T_0$ (две точки, принадлежащие одним и тем же открытым множествам, равны). Посчитайте число разных порядков на множестве из трёх элементов, вдруг их 14.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение20.03.2020, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1140
МО
george66
Похоже на топологию Скотта. Но там еще условие, замкнутое множество вместе со всякой под-направленностью содержит и ее твг (в открытых коряво выглядит).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group