Задача по топологии

[vsgvsg]

В начале книги "Элементарна топология" дошел до такой задачи: Перечислите все наборы подмножеств трехэлементного множества, такие, что существуют топологии, в которых эти наборы являются полными наборами замкнутых множеств, но не знаю как решить, даже не понятно что имеется в виду под полными наборами.
Была мысль просто составить множество из трех элементов и составлять топологии из самого множества, пустого множества и дополнениям к элементам, но как-то не очень получается.

[Someone]

vsgvsg в сообщении #1334727 писал(а):

Перечислите все наборы трехэлементного множества, такие, что существуют топологии, в которых эти наборы являются полными наборами замкнутых множеств

Кажется, одно слово пропущено, и должно быть "… все наборы подмножеств трехэлементного множества …". Вас просят перечислить все топологии, возможные на множестве из трёх элементов, и для каждой такой топологии выписать все замкнутые подмножества.

[vsgvsg]

Т.е если $X=(A; B; C)$ - трехэлементное множество, $F=(X; \varnothing; X\backslash A)$ - одна из топологий на $X$, но $X$ и $\varnothing$- замкнуты, и эти элементы должны быть в каждой топологии, значит все что нужно это перебрать все возможные?!
(еще $A$ - замкнуто т.к дополнение открыто)

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

vsgvsg в сообщении #1334765 писал(а):

$F=(X; \varnothing; X\backslash A)$

Это такой странный способ записать множество $\{\varnothing, X, X \setminus \{A\}\}$?
Да, это одна из топологий на $X$. Какие в ней множества открыты? Какие замкнуты?
Какие еще есть топологии на $X$?

[vsgvsg]

Найти все возможные топологии и описать элементы я понимаю как, я не понимаю что они имеют в виду под полными наборами замкнутых множеств.

[mihaild]

Полный набор замкнутых множеств для данной топологии - все множества, замкнутые в данной топологии.

[vsgvsg]

Понял, спасибо