Фазовые портреты.

[bitcoin]

Добрый день. Подскажите, где можно почитать теорию по фазовым портретам, чтобы можно было научиться их рисовать? Или еще, если можно, давайте здесь распишем?

Просто я много в интернетах читал, там уже выводы пишут, а сам принцип построения не очевиден.

Пусть у нас есть система линейных однородных диффуров с постоянными коэффициентами

$$\begin{cases} \dot{x}=ax+by\\ \dot{y}=cx+dy\\ \end{cases}$$

Пусть корни характеристического уравнения различны, тогда:

$$\begin{cases} x=C_1v_1e^{\lambda_1t}+C_2v_2e^{\lambda_2t}\\ y=C_1v_3e^{\lambda_1t}+C_2v_4e^{\lambda_2t}\\ \end{cases}$$

$(v_1;v_3)$, $(v_2;v_4)$ -- собственные вектора

Давайте рассмотрим сначала случай $\lambda_1>0$, $\lambda_2>0$.

Тогда, я понимаю, что стрелки на фазовых траекториях должны быть направлены от центра, так как идет неограниченное возрастание каждой переменной. Но как дальше?

Нам ведь нужно выразить $y$ через $x$, чтобы честно все построить. Но какая-то нехилая зависимость получается.

Я пытался выразить $t$ вычитая уравнения, но что-то какая-то чушь получалась. Получится ли выразить в общем виде? А если в частном случае, для конкретной невырожденной задачи, то это тупиковый путь? Правильно ли я понимаю, что нужно запомнить шаблоны траекторий и на них ориентироваться?

[Red_Herring]

bitcoin в сообщении #1334465 писал(а):

Но какая-то нехилая зависимость получается.

Перейдите в систему координат, связанную с собственными векторами. И читайте учебник

[bitcoin]

Red_Herring в сообщении #1334466 писал(а):

bitcoin в сообщении #1334465 писал(а):

Но какая-то нехилая зависимость получается.

Перейдите в систему координат, связанную с собственными векторами. И читайте учебник

Спасибо! А какой посоветуете учебник? И как безболезнено перейти в систему координат с собственными векторами, если они неортогональны? И там ведь тогда будут другие фазовые портреты. Вот я видел лекцию и видел там переход в систему, связанную с собственными векторами и там получается, что выражать $t$ очень просто, но ведь происходит при этом искажение фазовых портретов, как после обратно вернуться, вот это и не понятно.

[Red_Herring]

bitcoin в сообщении #1334469 писал(а):

Спасибо! А какой посоветуете учебник? И как безболезнено перейти в систему координат с собственными векторами, если они неортогональны? И там ведь тогда будут другие фазовые портреты. Вот я видел лекцию и видел там переход в систему, связанную с собственными векторами и там получается, что выражать $t$ очень просто, но ведь происходит при этом искажение фазовой траектории, как после обратно вернуться, вот это и не понятно.

Мне современные российские учебники неизвестны. "Искажение" траектории при линейном преобразовании плоскости очевидно; оно состоит из поворотов, растяжений и "скоса" $(x,y)\to (x+\alpha y,y)$.

[bitcoin]

Спасибо. Хотелось бы рассмотреть какой-нибудь частный случай, если можно, чтобы понять идею лучше, пока что я не очень представляю -- как именно переходить в систему координат, связанную с собственными векторами и тем паче, как возвращаться с небес на землю к прежним координатам. Можете, пожалуйста, дать конкретный пример системы?

[Red_Herring]

bitcoin в сообщении #1334473 писал(а):

Можете, пожалуйста, дать конкретный пример системы?

$$ \begin{aligned} &x' = x+y,\\ &y'=2y. \end{aligned} $$

[dsge]

Понтрягин. Дифференциальные уравнения и их приложения.
Эрроусмит, Плейс. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями.

[Tiberium]

Мне при подготовке к экзамену очень пригодилась книга "Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах". Там есть подробный алгоритм построения фазовых портретов.

[Someone]

Качественная теория динамических систем второго порядка.

[bitcoin]

Спасибо!

Red_Herring в сообщении #1334476 писал(а):

$$ \begin{aligned} &x' = x+y,\\ &y'=2y. \end{aligned} $$

Характеристическое уравнение:

$\begin{vmatrix} 1-\lambda& 1 \\ 0& 2-\lambda& \\ \end{vmatrix}=(1-\lambda)(2-\lambda)=0$

Собственные числа $1$ и $2$

Ищем собственные вектора

$\begin{pmatrix} 1-\lambda& 1 \\ 0& 2-\lambda& \\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} v_i \\ v_j \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ \end{pmatrix}$

Тут сразу видно, что собственному числу $\lambda_1=1$ соответствует вектор $(0;1)$ и $\lambda_2=2$ соответствует вектор $(1;1)$

Получаем, что
$\begin{cases} x=C_1\cdot 0 \cdot e^{\lambda_1t}+C_2\cdot 1\cdot e^{\lambda_2t}\\ y=C_1\cdot 1 \cdot e^{\lambda_1t}+C_2\cdot 1\cdot e^{\lambda_2t}\\ \end{cases}$

$\begin{cases} x=C_2e^{2t}\\ y=C_1e^{t}+C_2e^{2t}\\ \end{cases}$

Но как раз в этом случае, очень просто выразить $t$ из первого уравнения: $t=0,5\ln\left(\dfrac{x}{C_2}\right)$

Подставляем во второе, получаем: $y=C_1e^{t}+C_2e^{t}=C_1e^{0,5\ln\left(\frac{x}{C_2}\right)}+C_2e^{\ln\left(\frac{x}{C_2}\right)}=C_1^{*}\sqrt{x}+C_2^*x$

И здесь уже понятно, как строить это семейство кривых. Но здесь я все это делал не в системе координат, связанной с собственными векторами, потому относительно простой случай, когда одна из координат собственного вектора нулевая, там очевидно -- как выражать. Но ведь всегда так не получится сделать? Вот я не очень понимаю -- как перейти в систему координат, связанную с собственными векторами? Кстати, я восхищаюсь Вашей придуманной задачей, как так можно было подобрать коэффициенты, чтобы так все гладко влет считалось?) И собственные числа устно, и собственные вектора, да еще и $t$ идеально выразилось! Магия какая-то))

-- 25.08.2018, 17:08 --

Спасибо за предложенную литературу!

[Someone]

Из общего решения выразите $e^{\lambda_1t}$ и $e^{\lambda_2t}$ через $x$ и $y$. (Не забудьте, что знаки $x$ и $y$ и всяких их линейных комбинаций могут быть любыми.)

[bitcoin]

Спасибо, интересная идея, попробую выразить

$\begin{cases} x=C_1v_1e^{\lambda_1t}+C_2v_2e^{\lambda_2t}\\ y=C_1v_3e^{\lambda_1t}+C_2v_4e^{\lambda_2t}\\ \end{cases}$

$e^{\lambda_1t}=\dfrac{\begin{vmatrix} x&C_2v_2 \\ y&C_2v_4 \\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} C_1v_1&C_2v_2 \\ C_1v_3&C_2v_4 \\ \end{vmatrix}}=\dfrac{C_2v_4x-C_2v_2y}{C_1C_2v_1v_4-C_1C_2v_3v_4}$

$e^{\lambda_2t}=\dfrac{\begin{vmatrix} C_1v_1&x \\ C_1v_3&y \\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} C_1v_1&C_2v_2 \\ C_1v_3&C_2v_4 \\ \end{vmatrix}}=\dfrac{C_1v_1y-C_1v_3x}{C_1C_2v_1v_4-C_1C_2v_3v_4}$

Из $e^{\lambda_1t}$ и $e^{\lambda_2t}$ выражаем $t$ и приравниваем полученные логарифмы, получим:

$\left(\dfrac{C_2v_4x-C_2v_2y}{C_1C_2v_1v_4-C_1C_2v_3v_4}\right)^{\dfrac{1}{\lambda_1}}=\left(\dfrac{C_1v_1y-C_1v_3x}{C_1C_2v_1v_4-C_1C_2v_3v_4}\right)^{\dfrac{1}{\lambda_2}}$

Получилась какая-то дичь!

-- 25.08.2018, 19:02 --

Явно выразить $y$ через $x$ не получится

[Red_Herring]

bitcoin в сообщении #1334486 писал(а):

Но здесь я все это делал не в системе координат, связанной с собственными векторами,

Так сделайте в системе, связанной с ними

[bitcoin]

Попробую перейти от стандартных координат к координатам в собственном базисе $(0;1)$ и $(1;1)$ для данной ситуации:

$$\begin{cases} x=C_2e^{2t}\\ y=C_1e^{t}+C_2e^{2t}\\ \end{cases}$$

Получается, что $(0;1)$ - это уже вектор стандартого базиса, а $(1;1)=i+j$

Матрица перехода $T=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1& 1\\ \end{pmatrix}$

$T^{-1}=\dfrac{1}{-1}\cdot\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1& 0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1& 0\\ \end{pmatrix}$

Таким образом, новые координаты будут выражаться по формуле

$$\begin{pmatrix} x' \\ y'\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1& 0\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} C_1v_1e^{\lambda_1t}+C_2v_2e^{\lambda_2t}-(C_1v_1e^{\lambda_1t}+C_2v_2e^{\lambda_2t}) \\ C_1v_3e^{\lambda_1t}+C_2v_4e^{\lambda_2t}\\ \end{pmatrix}=...$$

Можно подобные привести, но разве что-то дает это или нет? Я что-то неверно делаю?

-- 25.08.2018, 21:17 --

Кстати, я что-то походу с индексами напутал. Но идея ведь наверняка, не такая?

[Someone]

bitcoin в сообщении #1334496 писал(а):

$e^{\lambda_1t}=\dfrac{\begin{vmatrix} x&C_2v_2 \\ y&C_2v_4 \\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} C_1v_1&C_2v_2 \\ C_1v_3&C_2v_4 \\ \end{vmatrix}}=\dfrac{C_2v_4x-C_2v_2y}{C_1C_2v_1v_4-C_1C_2v_3v_4}$

$e^{\lambda_2t}=\dfrac{\begin{vmatrix} C_1v_1&x \\ C_1v_3&y \\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} C_1v_1&C_2v_2 \\ C_1v_3&C_2v_4 \\ \end{vmatrix}}=\dfrac{C_1v_1y-C_1v_3x}{C_1C_2v_1v_4-C_1C_2v_3v_4}$

Догадаться вынести общие множители за скобку и сократить, разумеется, невозможно.

bitcoin в сообщении #1334496 писал(а):

Явно выразить $y$ через $x$ не получится

А кто Вам это обещал? Это вообще крайне редко получается.