Непересек открыт множества в индуцир тополог метрич простран

[_Sasha_]

В прошлой теме я пытался доказать следующее утверждение.

Утверждение. Пусть $Y$ непустое подмножество топологического пространства $\left(X,\,\tau \right)$ ($\varnothing \ne Y \subseteq X$). Тогда, если $U$ и $V$ - открытые непресекающиеся подмножества множества $Y$ ($U\underset{open}{ \subseteq }Y$, $V\underset{open}{ \subseteq }Y$ и $U \cap V = \varnothing$), то существуют такие открытые непересекающиеся подмножества $\widetilde{\widetilde{U}}$ и $\widetilde{\widetilde{V}}$ множества $X$ ($\widetilde{\widetilde{U}}\underset{open}{ \subseteq }X$, $\widetilde{\widetilde{V}}\underset{open}{ \subseteq }X$ и $\widetilde{\widetilde{U}} \cap \widetilde{\widetilde{V}} = \varnothing$), что $U=\widetilde{\widetilde{U}} \cap Y$ и $V=\widetilde{\widetilde{V}} \cap Y$.

Контрпример, приведённый в той теме показал, что моё предположение было неверно.

Однако, в метрическом пространстве это утверждение верно.

Утверждение. Пусть на множестве $X$ задана метрика $d$ и $Y$ непустое подмножество множества $X$ ($\varnothing \ne Y \subseteq X$). Тогда, если $U$ и $V$ - открытые непресекающиеся подмножества множества $Y$ ($U\underset{open}{ \subseteq }Y$, $V\underset{open}{ \subseteq }Y$ и $U \cap V = \varnothing$), то существуют такие открытые непересекающиеся подмножества $\widetilde{\widetilde{U}}$ и $\widetilde{\widetilde{V}}$ множества $X$ ($\widetilde{\widetilde{U}}\underset{open}{ \subseteq }X$, $\widetilde{\widetilde{V}}\underset{open}{ \subseteq }X$ и $\widetilde{\widetilde{U}} \cap \widetilde{\widetilde{V}} = \varnothing$), что $U=\widetilde{\widetilde{U}} \cap Y$ и $V=\widetilde{\widetilde{V}} \cap Y$.

У меня пока нет идей, как доказать это утверждение, кроме топологических идей, которые я показал в предыдущей теме.

Подскажите, пожалуйста, какие метрические идеи нужно использовать для доказательства этого утверждения.

[mihaild]

Воспользуйтесь тем, что открытое множество можно представить как объединение открытых шаров с центрами во всех его точках: $U = \bigcup\limits_{x \in U} \mathcal{B}_{\varepsilon_x}(x)$, причем одновременно $U = \bigcup\limits_{x \in U} \mathcal{B}_{\frac{\varepsilon_x}{2}}(x)$

[Someone]

Если уже известно, что в метрическом пространстве не пересекающиеся замкнутые множества имеют не пересекающиеся открытые окрестности, то можно воспользоваться этим. Вообще, утверждение верно для наследственно нормальных пространств.

[_Sasha_]

Подскажите, пожалуйста, в каком учебнике (в каких учебниках) по топологии разбирается это утверждение.

[Someone]

Про наследственно нормальные пространства можно почитать, например, в книге

Р. Энгелькинг. Общая топология. Москва, «Мир», 1986.

Прямо такого утверждения, которое Вам требуется, там нет. Но есть теорема 2.1.7, в которой доказательство утверждения (ii)→(iii) аналогично тому, что Вам требуется.

_Sasha_ в сообщении #1333153 писал(а):

Утверждение. Пусть на множестве $X$ задана метрика $d$ и $Y$ непустое подмножество множества $X$ ($\varnothing \ne Y \subseteq X$). Тогда, если $U$ и $V$ - открытые непресекающиеся подмножества множества $Y$ ($U\underset{open}{ \subseteq }Y$, $V\underset{open}{ \subseteq }Y$ и $U \cap V = \varnothing$), то существуют такие открытые непересекающиеся подмножества $\widetilde{\widetilde{U}}$ и $\widetilde{\widetilde{V}}$ множества $X$ ($\widetilde{\widetilde{U}}\underset{open}{ \subseteq }X$, $\widetilde{\widetilde{V}}\underset{open}{ \subseteq }X$ и $\widetilde{\widetilde{U}} \cap \widetilde{\widetilde{V}} = \varnothing$), что $U=\widetilde{\widetilde{U}} \cap Y$ и $V=\widetilde{\widetilde{V}} \cap Y$.

Ваше утверждение несколько сильнее, поэтому доказательство нужно будет подправить.

P.S. У Вас очень скромные обозначения. Зачем эти двойные тильды, когда можно соорудить тройные, и ещё навесить по паре индексов на всех четырёх углах ( $^{\mathfrak A}_{\alpha}\varpi^{-1}_3$ )?