Непересекающиеся открытые множества в индуцированной тополог

[_Sasha_]

Пусть на множестве $X$ задана топология $\tau$. $Y$ - непустое подмножество множества $X$, на которую топология $\tau$ индуцирует топологию $\tau _{|Y}$.

Нужно показать, что если $U$ и $V$ - два непересекающихся открытых подмножеств множества $Y$ ($U\underset{open}{ \subseteq }Y$, $V\underset{open}{ \subseteq }Y$ и $U \cap V = \varnothing$), то существуют два непересекающихся открытых подмножеств множества $X$ ($\widetilde{\widetilde{U}}\underset{open}{ \subseteq }X$, $\widetilde{\widetilde{V}}\underset{open}{ \subseteq }X$ и $\widetilde{\widetilde{U}} \cap \widetilde{\widetilde{V}} = \varnothing$) таких, что $U=\widetilde{\widetilde{U}} \cap Y$ и $V=\widetilde{\widetilde{V}} \cap Y$.

Вот моя первая попытка доказательства, которая пока ни к чему не привела.

Так как $U\underset{open}{ \subseteq }Y$ и $V\underset{open}{ \subseteq }Y$, то $\exists \,\widetilde{U}\underset{open}{ \subseteq }X$ и $\widetilde{V}\underset{open}{\subseteq}X$ такие, что $U=\widetilde{U} \cap Y$ и $V=\widetilde{V} \cap Y$.



Пусть $\widetilde{\widetilde{U}}=\widetilde{U}\underset{open}{ \subseteq }X$ и $\widetilde{\widetilde{V}}=\widetilde{V} \setminus \overline{\widetilde{U}}^{ \,\tau }\underset{open}{ \subseteq }X$. Тогда
1) $\widetilde{\widetilde{U}} \cap \widetilde{\widetilde{V}} = \varnothing$ (легко доказывается),
2) $U=\widetilde{U} \cap Y = \widetilde{\widetilde{U}} \cap Y$ (очевидно, так как $\widetilde{\widetilde{U}} =\widetilde{U}$).
А вот доказать, что
3) $V=\widetilde{V} \cap Y = \widetilde{\widetilde{V}} \cap Y$ не получается.
Так как, из $\widetilde{\widetilde{V}}=\widetilde{V} \setminus \overline{\widetilde{U}}^{ \,\tau }$ следует, что $\widetilde{\widetilde{V}} \subseteq \widetilde{V}$, то верно включение $\widetilde{\widetilde{V}} \cap Y \subseteq \widetilde{V} \cap Y$. Обратное включение ($\widetilde{V} \cap Y \subseteq \widetilde{\widetilde{V}} \cap Y$) не получается доказать, так как множество $\overline{\widetilde{U}}^{ \,\tau }$ может содержать точки множества $V$.

Вот если можно было бы в качестве множества $\widetilde{U}$ взять такое множество, что $\overline{\widetilde{U}}^{ \,\tau } \cap V = \varnothing$ (понятно, что множество $\overline{\widetilde{U}}^{ \,\tau }$ не может пересекать множество $V$ по своему подмножеству $\overline{U}^{ \,\tau _{|Y}}$), то утверждение тогда доказывалась. Но, у меня пока не получается такое множество $\widetilde{U}$ построить.


Вторая попытка заключается в следующем. Пусть $A\underset{open}{ \subseteq }Y$. Утверждение будет доказано, если я смогу найти такое множество $B\underset{open}{ \subseteq }X$, что $A = B \cap Y$ и $\overline{A}^{\, \tau _{|Y}} = \overline{B}^{\, \tau } \cap Y$. То, что $\overline{A}^{\, \tau _{|Y}} \subseteq \overline{B}^{\, \tau } \cap Y$ следует из того, что замыкание множества есть наименьшее по включению замкнутое множество, содержащее само множество. Обратное включение множеств не удаётся пока доказать хотя бы для какого-нибудь $B\underset{open}{ \subseteq }X$.



Может, есть более простые доказательства моего главного утверждения?

[grizzly]

_Sasha_
А что будет для такого примера: $X=\{1,2,3\}, \tau=\{\varnothing, \{1\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}, Y=\{2,3\}?$

[_Sasha_]

$\tau _{|Y}=\left\{ \varnothing ,\,\left\{ 2 \right\},\,\left\{ 3 \right\},\,Y \right\}$ и для множеств $U=\left\{ 2 \right\}$ и $V=\left\{ 3 \right\}$ не существует таких два открытых непересекающихся множеств $\widetilde{\widetilde{U}}\underset{open}{ \subseteq }X$ и $\widetilde{\widetilde{V}}\underset{open}{ \subseteq }X$, что $U=\widetilde{\widetilde{U}} \cap Y$ и $V=\widetilde{\widetilde{V}} \cap Y$.


Данную задачу я взял из учебника В. А. Зорич, Математический анализ, Часть II, Москва, 2002, страница 10, задача 4.b). Поэтому, я был уверен, что данное утверждение сформулировано верно.

[mihaild]

Так там про метрические пространства, а не общие топологические. Топология пространства grizzly не метризуема (хотя бы потому что не удовлетворяет $T_1$).

[_Sasha_]

Вот этого я и не досмотрел. Хотя задача находится в параграфе Метрическое пространство, и в этой задаче фигурируют метрики, я был уверен, что там задача о топологическом пространстве, и аппарат метрики не применял.

Благодарю за помощь.