Упражнение по линейной алгебре

[ioleg19029700]

Показать, что если два подпространства $V_1, V_2$ пространства $V$ имеют общим только нулевой вектор $\vec{\theta}$, то сумма их размерностей не превосходит размерности $V$.
Будем доказывать от противного. Пусть это не так, т.е. подпространства имеют общим только нулевой вектор $\vec{\theta}$, но сумма их размерностей больше размерности $V$. Зафиксируем в пространстве $V$ базис $\vec{e_1},\ldots,\vec{e_n}$, а в подпространствах $V_1, V_2$ базисы $\vec{g_1},\ldots,\vec{g_k}$ и $\vec{f_1},\ldots,\vec{f_l}$ соответственно, при этом имеем, что $l+k>n$. Рассмотрим систему векторов $\vec{g_1},\ldots,\vec{g_k}, \vec{f_1},\ldots,\vec{f_l}$. Она линейно независима, т.к. подпространства имеют общим только нулевой вектор $\vec{\theta}$ (!). При этом каждый вектор из этой системы является линейной комбинацией базисных векторов $\vec{e_1},\ldots,\vec{e_n}$ пространства $V$. Тогда из основной леммы о линейной зависимости следует неравенство $l + k \le n$. Получили противоречие с предположением из начала рассуждений, следовательно оно не верно.
Меня интересует момент, который я пометил восклицательным знаком. Достаточно ли корректно такое утверждение? Просто именно на нем основано дальнейшее применение леммы (в ней линейная независимость другой системы является достаточным условием) и получение противоречия.

[mihaild]

ioleg19029700 в сообщении #1333711 писал(а):

Достаточно ли корректно такое утверждение?

Оно верно. В зависимости от ситуации, может потребоваться расписать его подробнее (пусть линейно зависимы - тогда можно найти общий ненулевой вектор), а может не потребоваться.

[Sender]

mihaild в сообщении #1333712 писал(а):

В зависимости от ситуации, может потребоваться расписать его подробнее

Думаю, это необходимо сделать, коль скоро сам автор не до конца уверен в его корректности.

[pogulyat_vyshel]

А может было бы продуктивнее сразу доказать формулу $\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\bigcap V_2)$
это не слишком сложнее задачи из стартового поста, но зато все прямо и ясно, без недомолвок

[ioleg19029700]

Sender
mihaild
Тогда такое дополнение. Рассмотрим систему $\vec{g_1},\ldots,\vec{g_k},\vec{f_1},\ldots,\vec{f_l}$ (среди них нет нулевого вектора, так как иначе нулевой вектор входил бы в базис одного из подпространств, но такая система не может быть базисом, потому что автоматически линейно зависима) и докажем её линейную независимость. Пусть это не так, тогда в линейной комбинации $a_1\vec{g_1}+\ldots+a_k\vec{g_k}+a_{k+1}\vec{f_1}+\ldots+a_{l+k}f_l = \vec{\theta}$ не все коэффициенты равны нулю. Перепишем равенство следующим образом $a_1\vec{g_1}+\ldots+a_k\vec{g_k} = a_{k+1}\vec{f_1}+\ldots+a_{l+k}f_l$. Слева у нас вектор из подпространства $V_1$, справа из $V_2$. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что ненулевой коэффициент находится в левой части равенства. Если не все коэффициенты правой части равны $0$, то имеем линейную комбинацию базисных векторов подпространства $V_1$, результат которой это ненулевой вектор из $V_2$, то есть подпространства имеют общий ненулевой вектор (Противоречие). Если все коэффициенты правой части нулевые, то имеем нетривиальную линейную комбинацию равную нулю, т.е. векторы $\vec{g_1},\ldots,\vec{g_k}$ линейно зависимы, а следовательно не являются базисом подпространства $V_1$ (Противоречие). Таким образом, система $\vec{g_1},\ldots,\vec{g_k},\vec{f_1},\ldots,\vec{f_l}$ линейно независима