Неравенство от одной переменной

[arqady]

Для любого положительного $x$ докажите что:

$$e^x\ln\left(e^x-x-\ln{x}\right)\geq1.$$

[JohnDou]

(Решение для $x\geq 1$)

$e^x\ln(e^x-x-\ln(x))\geq1\Leftrightarrow \ln(e^x-x-\ln(x))\geq e^{-x}\Leftrightarrow e^x\geq x+\ln(x)+e^{e^{-x}}$

Если $x=1$ то $e\ \vee \ 1+\ln(1)+e^{e^{-1}}\Leftrightarrow e-e^{e^{-1}}\ \vee \ 1$
Но $e-e^{e^{-1}}=1+\left ( \frac{1}{2!}-\frac{1}{e} \right )+\left ( \frac{1}{3!}-\frac{1}{2!e^2} \right )+...\geq 1$
значит тут оно выполнено.
$\left ( e^x \right )'=e^x\geq 1+\frac{1}{x}>1+\frac{1}{x}-e^{-x}\cdot e^{e^{-x}}=\left ( x+\ln(x)+e^{e^{-x}} \right )'$
где неравенства выполняются $\forall x \geq 1$.
Но тогда они выполнены и для изначальной функции на этом интервале.$\blacksquare$

Однако это решение не даёт точки в которых выполнено равенство (а такие есть?).

[wrest]

JohnDou в сообщении #1333103 писал(а):

Однако это решение не даёт точки в которых выполнено равенство (а такие есть?)

Есть одна, $x=W_0(1)\approx 0,567143290...$ (W-функция Ламберта).
Она же "константа Омега"

[arqady]

И только одна!

[Cash]

JohnDou в сообщении #1333103 писал(а):

Поскольку функции из неравенства не убывающие, для доказательства неравенства на интервале нам достаточно убедиться в том, что оно выполняется на концах интервала

Классический пример:

$\log_{1\slash 16}x - (1 \slash 16)^x$ интервал $(0.2, 0.45)$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=log_(1%2F16)x+-(1%2F16)%5Ex++from+0.2+to+0.45

[kotenok gav]

Функция $(1/16)^x$ убывающая.

[Cash]

kotenok gav, это не принципиально. $1 - (1/16)^x$ и $1-\log_{1\slash 16}x$ неубывающие.

(Оффтоп)

Возможно это утверждение JohnDou мне привиделось и мой пост явно подвис в воздухе. Неприятно, что уж там...

[worm2]

Если сделать подстановку $t=xe^x$, то WolframAlpha подсказывает, что

$$f(t)=e^{W(t)}\ln\left(e^{W(t)}-\ln t\right)=1+\frac{1-W(1)}{2}(t-1)^2+O((t-1)^3).$$

Т.е. в районе $t=1$ ($x=W(1)$) функция действительно имеет строгий минимум. Но локальный, т.е. целиком задача так не решается.

[JohnDou]

Cash
Более простой контрпример: возьмём две точки на экспоненте и проведём через них прямую.

(Оффтоп)

Да, поторопился. А вообще зря на форуме отсутствует неограниченное редактирование сообщений.

[wrest]

worm2 в сообщении #1333161 писал(а):

Но локальный, т.е. целиком задача так не решается.

Ну он же и глобальный на положительных иксах.