2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 10:40 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Для любого положительного $x$ докажите что:
$$e^x\ln\left(e^x-x-\ln{x}\right)\geq1.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 15:14 
Аватара пользователя


20/07/18
103

(Решение для $x\geq 1$)

$e^x\ln(e^x-x-\ln(x))\geq1\Leftrightarrow \ln(e^x-x-\ln(x))\geq e^{-x}\Leftrightarrow e^x\geq x+\ln(x)+e^{e^{-x}}$

Если $x=1$ то $e\ \vee \ 1+\ln(1)+e^{e^{-1}}\Leftrightarrow e-e^{e^{-1}}\ \vee \ 1$
Но $e-e^{e^{-1}}=1+\left ( \frac{1}{2!}-\frac{1}{e} \right )+\left ( \frac{1}{3!}-\frac{1}{2!e^2} \right )+...\geq 1$
значит тут оно выполнено.
$\left ( e^x \right )'=e^x\geq 1+\frac{1}{x}>1+\frac{1}{x}-e^{-x}\cdot e^{e^{-x}}=\left ( x+\ln(x)+e^{e^{-x}} \right )'$
где неравенства выполняются $\forall x \geq 1$.
Но тогда они выполнены и для изначальной функции на этом интервале.$\blacksquare$

Однако это решение не даёт точки в которых выполнено равенство (а такие есть?).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 15:18 


05/09/16
12113
JohnDou в сообщении #1333103 писал(а):
Однако это решение не даёт точки в которых выполнено равенство (а такие есть?)

Есть одна, $x=W_0(1)\approx 0,567143290...$ (W-функция Ламберта).
Она же "константа Омега"

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 15:35 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
И только одна! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 15:55 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
JohnDou в сообщении #1333103 писал(а):
Поскольку функции из неравенства не убывающие, для доказательства неравенства на интервале нам достаточно убедиться в том, что оно выполняется на концах интервала


Классический пример:

$\log_{1\slash 16}x - (1 \slash 16)^x$ интервал $(0.2, 0.45)$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=log_(1%2F16)x+-(1%2F16)%5Ex++from+0.2+to+0.45

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 17:21 


21/05/16
4292
Аделаида
Функция $(1/16)^x$ убывающая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 18:12 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
kotenok gav, это не принципиально. $1 - (1/16)^x$ и $1-\log_{1\slash 16}x$ неубывающие.

(Оффтоп)

Возможно это утверждение JohnDou мне привиделось и мой пост явно подвис в воздухе. Неприятно, что уж там...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Если сделать подстановку $t=xe^x$, то WolframAlpha подсказывает, что
$$f(t)=e^{W(t)}\ln\left(e^{W(t)}-\ln t\right)=1+\frac{1-W(1)}{2}(t-1)^2+O((t-1)^3).$$ Т.е. в районе $t=1$ ($x=W(1)$) функция действительно имеет строгий минимум. Но локальный, т.е. целиком задача так не решается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 20:50 
Аватара пользователя


20/07/18
103
Cash
Более простой контрпример: возьмём две точки на экспоненте и проведём через них прямую.

(Оффтоп)

Да, поторопился. А вообще зря на форуме отсутствует неограниченное редактирование сообщений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 22:49 


05/09/16
12113
worm2 в сообщении #1333161 писал(а):
Но локальный, т.е. целиком задача так не решается.

Ну он же и глобальный на положительных иксах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group