Почленное сложение двух геометрических прогрессий

[Ktina]

Бесконечная последовательность вещественных чисел образована почленным сложением двух геометрических прогрессий. Может ли эта последовательность начинаться с таких чисел (именно в указанном порядке)?

а) 1, 1, 7, 20;

б) 1, 2, 3, 5;

в) 1, 2, 3, 4.

[mihaild]

Т.к. симметрические многочлены от двух переменных выражаются через степенные суммы степеней $1$ и $2$, то третий и последующие члены ваших последовательностей легко выражаются через первые два. И остается просто проверить, равны ли они указанным.

[waxtep]

У меня получилось, (а,б) - можно, (в) - нельзя.
Вообще как-то странно арифметической прогрессии быть суммой двух геометрических, вот.
Делал в лоб, стараясь не терять изящества симметрии слишком рано: пусть $ap^{i-1}+bq^{i-1}=x_i, i=1,2,3,4$. Тогда, после преобразований туда-сюда, показатели прогрессий $p,q$ получаются корнями квадратного уравнения $x^2-cx+k=0$, где $k=\dfrac{x_2x_4-x_3^2}{x_1x_3-x_2^2},c=\dfrac{k^3x_1^2+k^2x_2^2-kx_3^2-x_4^2}{k^2x_1x_2-x_3x_4}$
Для наших случаев:
а) $k=-\dfrac{29}6,c=\dfrac{57839}{25194}$ и соответствующие $p,q$ можно увидеть вот здесь, а $a,b$ я не стал считать, потому что они наверняка такие же страшные;
б) $k=-1,c=1: p,q=\dfrac{1\pm\sqrt5}2,a,b=\dfrac1 2(1\pm\dfrac3{\sqrt5})$, симпатично;
в) $k=1, c=2$ и упс! $p=q=1$ - не бывает.

-- 17.08.2018, 01:26 --

+ (б) это ж фибоначии, можно было не считать, конечно

[Aritaborian]

waxtep в сообщении #1333002 писал(а):

Вообще как-то странно арифметической прогрессии быть суммой двух геометрических, вот.

Так в условии задачи слова «арифметическая» и нет.

[waxtep]

Aritaborian в сообщении #1333003 писал(а):

Так в условии задачи слова «арифметическая» и нет.

Есть! В пункте (в), это замечание относится только к нему

[Aritaborian]

Тот факт, что некая последовательность начинается с чисел 1, 2, 3, 4, вовсе не обязывает её быть арифметической и продолжаться числом 5.

[waxtep]

Aritaborian, это я в традициях плохого детектива сразу засветил главного подозреваемого, убийца - садовник, так сказать.
Легко убедиться, что для любого куска арифметической прогрессии длиной четыре, складывание из двух геометрических так же не проходит. Кроме случая, когда все $x_i$ равны друг другу, конечно. У меня есть смутные воспоминания, что подобная задача на форуме была, но, специально не искал