2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Диффуры, парочка вопросов.
Сообщение16.08.2018, 21:33 


19/04/18
193
Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, разобраться.
1) Вот есть у нас диффур $y''+a_1y+a_0y=0$ с постоянными коэффициентами. Почему, в случае кратности корня характеристического уравнения у нас общее решение будет записываться в виде $y=C_1xe^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$? Откуда возникает множитель $x$?

Я понимаю, что само характеристическое уравнение можно получить, подставив вместо $y$ именно $e^{kx}$. Также ясно, что если подставить $Ce^{kx}$, тоже подойдет. Ну а если два различных корня, то ясно дело, что подойдет $y=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$ (для комплексных тоже сгодится). Но как выводится формула для повторного корня?

2) Вот есть у нас диффур $y''+a_1y+a_0y=f(x)$ с постоянными коэффициентами. Почему, когда мы ищем общее решение методом вариации произвольных постоянных у нас получается система:

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 C_1'y_1+C_2'y_2&=&0 \\
 C_1'y_1'+C_2'y_2'&=&f(x) \\
\end{array}
\right.$$

Было предположение, что нужно просто подставить $y=C_1y_1+C_2y_2$ в $y''+a_1y+a_0y=f(x)$, но там никуда не исчезли вторые производные.

$(C_1y_1+C_2y_2)''+a_1(C_1y_1+C_2y_2)'+a_0(C_1y_1+C_2y_2)=f(x)$

$$(C_1'y_1+C_2'y_2+C_1y_1'+C_2y_2')'+a_1(C_1'y_1+C_2'y_2+C_1y_1'+C_2y_2')+a_0(C_1y_1+C_2y_2)=f(x)$$

$$C_1''y_1+C_2''y_2+C_1'y_1'+C_2'y_2'+C_1'y_1'+C_2'y_2'+C_1y_1''+C_2y_2''+a_1(C_1'y_1+C_2'y_2+C_1y_1'+C_2y_2')+a_0(C_1y_1+C_2y_2)=f(x)$$

$$C_1''y_1+C_2''y_2+2C_1'y_1'+2C_2'y_2'+C_1y_1''+C_2y_2''+a_1(C_1'y_1+C_2'y_2+C_1y_1'+C_2y_2')+a_0(C_1y_1+C_2y_2)=f(x)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры, парочка вопросов.
Сообщение16.08.2018, 21:57 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
bitcoin в сообщении #1332985 писал(а):
Почему, в случае кратности корня характеристического уравнения у нас общее решение будет записываться в виде $y=C_1xe^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$? Откуда возникает множитель $x$?

Переходите к системе уравнений первого порядка, записываете в матричной форме и наблюдаете, что матрица системы в этом случае не диагонализуется. Но приводится к жордановой форме - отсюда и возникает второе решение. Это если совсем коротко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры, парочка вопросов.
Сообщение16.08.2018, 22:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
bitcoin в сообщении #1332985 писал(а):
Откуда возникает множитель $x$?
Предположим, что характеристическое уравнение имеет кратный корень $k_1=k_2$. Чтобы у Вас не было искушения использовать оба обозначения $k_1$ и $k_2$ одновременно, обозначим то и другое $k_0$.
Сделайте в исходном дифференциальном уравнении замену неизвестной функции $y=ue^{k_0x}$.
Заметьте, что если $P(k)=0$ — характеристическое уравнение исходного уравнения, то после замены полученное уравнение будет иметь характеристическое уравнение $P(\kappa+k_0)=0$. Какие корни будут у этого уравнения?
Как будет выглядеть новое дифференциальное уравнение и какое у него будет общее решение?

bitcoin в сообщении #1332985 писал(а):
Было предположение, что нужно просто подставить $y=C_1y_1+C_2y_2$ в $y''+a_1y+a_0y=f(x)$
Нет, это всё совсем не туда. Но описывать это всё здесь слишком длинно. Попробуйте посмотреть в учебнике.

Н. М. Матвеев. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. "Высшая школа", Москва, 1967.
(Пункт 171.)

P.S. Для записи систем уравнений обычно удобно использовать окружение cases (https://dxdy.ru/post443191.html#p443191).

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры, парочка вопросов.
Сообщение16.08.2018, 22:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
С первым вопросом можно и так. Пусть есть два разных корня $k_1$ и $k_2$; тогда есть два решения $e^{k_1x}$ и $e^{k_2x}-e^{k_1x}$. Устремим $k_2$ к $k_1$: $k_2\to k_1$, тогда первое решение остается прежним, а второе стремится к $0$. Плохо! Тогда разделим его на $(k_2-k_1)$ (помните, на константу можно умножать!): $\frac{e^{k_2x}-e^{k_1x}}{k_2-k_1}$ и вычислим предел по Лопиталю, получим $xe^{k_2x}$ которое стремится к $xe^{k_1x}$.

А вообще: ответы на ваши вопросы в учебнике!

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры, парочка вопросов.
Сообщение16.08.2018, 22:48 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
bitcoin
По второму вопросу:
можно - так: наше решение можно представить в таком виде - огромной кучей способов. Вот и выберем тот способ, для которого выполняется первое ур-е из Вашего 2)....
Но это производит впечатление некого надувательства (фокуса). А если Вы хотите иметь и "разоблачение" фокуса - то используйте совет Eule_A: для решения полученной системы (уже первого порядка) используйте обычный метод вариации постоянных (хочь это тоже - фокус) (решение ищем в виде $X=\Phi C$, где $\Phi$ - фундаментальная матрица решений)

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры, парочка вопросов.
Сообщение17.08.2018, 09:24 


16/08/17
117
bitcoin в сообщении #1332985 писал(а):
Было предположение, что нужно просто подставить $y=C_1y_1+C_2y_2$ в $y''+a_1y+a_0y=f(x)$,

Продифференцируйте сначала один раз и сделайте предположение (1) из вашей системы, что $C_1'y_1+C_2'y_2&=&0$. А затем продифференцируйте второй раз и всё полученное подставьте в исходное дифференциальное уравнение. И получите уравнение (2) вашей системы.

А ещё, надо полагать, у вас во всех ваших ДУ отсутствует ещё один штрих.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры, парочка вопросов.
Сообщение18.08.2018, 01:37 


19/04/18
193
Someone в сообщении #1332989 писал(а):
Как будет выглядеть новое дифференциальное уравнение и какое у него будет общее решение?

Спасибо, завтра на свежую голову попробую ответить на этот вопрос и почитаю Матвеева.
Red_Herring в сообщении #1332992 писал(а):
и вычислим предел по Лопиталю, получим $xe^{k_2x}$ которое стремится к $xe^{k_1x}$

Спасибо, интересный трюк! Но он как-то притянутым за уши выглядит, правда, ну да ладно))
teleglaz в сообщении #1333034 писал(а):
Продифференцируйте сначала один раз и сделайте предположение (1) из вашей системы, что $C_1'y_1+C_2'y_2&=&0$

Все, понял, спасибо, действительно, просто!

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры, парочка вопросов.
Сообщение18.08.2018, 03:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
bitcoin в сообщении #1333215 писал(а):
Но он как-то притянутым за уши выглядит, правда, ну да ладно))
Как раз он наиболее натурален: решение при $k_1=k_2$ получается из решения при $k_1\ne k_2$ предельным переходом. Так же можно получить и решение с правой частью $e^{k_1x}$ при $k_1 \ne k_2$: сначала решаем с п.ч. $e^{kx}$, получаем $\frac{e^{kx}}{(k-k_1)(k-k_2)}$ с $k\ne k_1,k_2$, но чтобы при $k\to k_1$ не ломалось, вычитаем решение однородного уравнения: $\frac{e^{kx}-e^{k_1x}}{(k-k_1)(k-k_2)}$, и переходим к пределу $k\to k_1$, получая $\frac{xe^{k_1x}}{(k-k_2)}$. И т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры, парочка вопросов.
Сообщение18.08.2018, 21:04 


02/10/15
60
Приведу объяснение для частного случая - уравнения второго порядка - из классического американского учебника авторства Морриса Тененбаума (перевода этой книги на русский, кажется, нет). Объяснение для общего случая есть в большинстве стандартных учебников по ДУ. Очень подробно эта (как и множество других) тема рассматривается в учебнике "Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям" (авторы Боровских А.В., Перов А.И.). Мне он очень нравится :-)

Если мы рассматриваем случай кратных корней, то изучаемое дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами можно привести к следующему виду:
$$y'' - 2ay' + a^2y = 0. \eqno{(1)}$$
Характеристическое уравнение будет иметь вид
$$\lambda^2 - 2a\lambda + a^2 = 0,$$
а корнем его будет $\lambda = a$ (кратности 2).

Пусть
$$y_c = u(x)e^{ax}.$$
Какой вид должна иметь функция $u(x)$, чтобы $y_c$ было решением уравнения (1)?
Если $y_c$ решение, то должно выполняться
$$(ue^{ax})'' - 2a(ue^{ax})' + a^2(ue^{ax}) = 0.$$
Выполняя дифференцирование, получим
$$e^{ax}(u'' + 2au' + a^2u - 2au' - 2a^2u + a^2u) = 0.$$
Как видно, выражение в скобках можно упростить. В результате получим
$$e^{ax}u'' = 0. \eqno{(2)}$$
Так как $e^{ax} \neq 0$, то от (2) можно перейти к уравнению
$$u'' = 0.$$
Решение этого дифференциального уравнения:
$$u = C_1 + C_2x.$$
Таким образом, функция $y_c$ является решением уравнения (1), если она имеет вид
$$y_c = (C_1 + C_2x)e^{ax}.$$
То, что функции $e^{ax}$ и $xe^{ax}$ линейно независимы, легко проверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры, парочка вопросов.
Сообщение22.08.2018, 09:44 


19/04/18
193
Пока писал, все уже понял.

(Оффтоп)

Доброе утро! Я почитал Матвеева, но мне не стало понятнее, потому как я не понял, почему не исчезают вторые производные, потому как они там остаются. Да, там написано про общий случай еще для $n$ переменных, я понял начало, но как начали использовать $n-1$ предположение, не очень понял, как это помогло.

Вот есть у нас диффур $y''+a_1y'+a_0y=f(x)$ с постоянными коэффициентами. Не понимаю -- как возникает второе уравнение системы. Первое -- это наше предположение.

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 C_1'y_1+C_2'y_2&=&0 \\
 C_1'y_1'+C_2'y_2'&=&f(x) \\
\end{array}
\right.$$

Подставляем $y=C_1y_1+C_2y_2$ в $y''+a_1y+a_0y=f(x)$, но там никуда не исчезли вторые производные.

$(C_1y_1+C_2y_2)''+a_1(C_1y_1+C_2y_2)'+a_0(C_1y_1+C_2y_2)=f(x)$

$$(C_1'y_1+C_2'y_2+C_1y_1'+C_2y_2')'+a_1(C_1'y_1+C_2'y_2+C_1y_1'+C_2y_2')+a_0(C_1y_1+C_2y_2)=f(x)$$

$$ C_1'y_1+C_2'y_2=0$$

$$(C_1y_1'+C_2y_2')'+a_1(C_1y_1'+C_2y_2')+a_0(C_1y_1+C_2y_2)=f(x)$$

$$C_1'y_1'+C_2'y_2'+C_1y_1''+C_2y_2''+a_1(C_1y_1'+C_2y_2')+a_0(C_1y_1+C_2y_2)=f(x)$$

Получается, что не исчезли не только вторые производные, но и еще не исчезли $a_1,a_0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры, парочка вопросов.
Сообщение22.08.2018, 10:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
bitcoin в сообщении #1333820 писал(а):
$$C_1'y_1'+C_2'y_2'+C_1y_1''+C_2y_2''+a_1(C_1y_1'+C_2y_2')+a_0(C_1y_1+C_2y_2)=f(x)$$

Получается, что не исчезли не только вторые производные, но и еще не исчезли $a_1,a_0$
Соберите вместе члены, содержащие $C_1$ (но не $C'_1$), вынесите $C_1$ за скобки. Вспомните, что такое $y_1$. Посмотрите внимательно на то, что получилось в скобках.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group