Подскажите, как просуммировать

[Gordmit]

$$\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^{2n-k}}{2n-k+1 \choose n+1}$$

[maxal]

$$=2-\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n+1}{n}$$

[Gordmit]

maxal, спасибо! А как это получилось? Дайте хоть намёк, попробую сам сделать...

[TOTAL]

Находится, например, как коэффициент перед $x^{n+1}$ в

$$\frac{1}{2^n}\left( x+\frac{1}{2}\right)^{n+1}\frac{1-\left( x+\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\left( x+\frac{1}{2}\right)}$$

Получается

$$2-\frac{1}{2^{2n+1}}C^{n+1}_{2n+2}$$

[Gordmit]

TOTAL писал(а):

Находится, например, как коэффициент перед $x^{n+1}$ в

$$\frac{1}{2^n}\left( x+\frac{1}{2}\right)^{n+1}\frac{1-\left( x+\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\left( x+\frac{1}{2}\right)}$$

Что-то никак не получается у меня исходная сумма равной коэффициенту при $x^{n+1}$
Делаю так:

$$F(x)=\frac{1}{2^n}\left(\left(x+\frac12\right)^{n+1}+\left(x+\frac12\right)^{n+2}+\ldots+\left(x+\frac12\right)^{2n+1}\right)$$

$$\left(x+\frac12\right)^{n+k+1}=\frac{1}{2^{n+k+1}}\sum_{m=0}^\infty \frac{(n+k+m)!}{(n+k)!m!}2^m x^m=\sum_{m=0}^\infty\frac{1}{2^{n+k+1-m}}{n+k+m \choose m}x^m,\quad k=0,1,\ldots, n$$

т.е. коэффициент при $x^m=x^{n+1}$ равен

$$\frac{1}{2^k}{2n+k+1 \choose n+1}$$

, а следовательно, для всей $F(x)$ этот коэффициент будет равен

$$\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^{n+k}}{2n+k+1 \choose n+1}$$

Но с другой стороны, исходная сумма равна

$$\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^{2n-k}}{2n-k+1 \choose n+1}=\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^{n+k}}{n+k+1 \choose n+1}$$

Несколько раз пересчитал, но что-то так и не сходится. В чем у меня ошибка?..

Добавлено спустя 4 минуты 10 секунд:

И еще вопрос: как альтернативным способом сосчитать этот коэффициент при $x^{n+1}$, чтобы получить ответ?

Добавлено спустя 33 минуты 10 секунд:

Первый вопрос, благодаря RIP, более неактуален, за что ему спасибо Какую-то ерунду я написал вместо бинома Ньютона, а если написать правильно, то всё на самом деле получается как у TOTALа. Так что остается только второй вопрос.

[RIP]

Gordmit писал(а):

И еще вопрос: как альтернативным способом сосчитать этот коэффициент при $x^{n+1}$, чтобы получить ответ?

Удобно сделать замену $x=t/2$ и воспользоваться тем, что

$$\frac1{1-t}\sum_{n=0}^\infty c_nt^n=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^nc_k\right)t^n.$$

Более простого пути я не вижу.

[TOTAL]

$\left( x+\frac{1}{2}\right)^{n+1} - \left( x+\frac{1}{2}\right)^{2n+2}=2^n \left(\frac{1}{2}-x\right)\left(a_0+a_1x+ \ldots + a_{2n+1} x^{2n+1}\right)$

Для нахождения $a_{n+1}$ приравниваем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях:
$x^0:\;\; \frac{1}{2^{n+1}}C^{0}_{n+1} - \frac{1}{2^{2n+2}}C^{0}_{2n+2} = 2^n\left(\frac{1}{2}a_0\right) $
$x^1:\;\; \frac{1}{2^{n}}C^{1}_{n+1} - \frac{1}{2^{2n+1}}C^{1}_{2n+2} = 2^n\left(\frac{1}{2}a_1-a_0\right) $


$x^{n+1}:\;\; \frac{1}{2^{0}}C^{n+1}_{n+1} - \frac{1}{2^{n+1}}C^{n+1}_{2n+2} = 2^n\left(\frac{1}{2}a_{n+1}-a_n\right) $

Осталось строку для $x_k$ умножить на $\frac{1}{2^k}$ и все строки сложить.

[Gordmit]

Прошу прощения за долгое отсутствие в теме. Большое спасибо всем, и особенно TOTAL за остроумный способ нахождения суммы. Правда, я слегка ошибся в условии, поэтому ответ не очень красивый, на самом деле нужно было посчитать

$$\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^{2n-k}}{2n-k \choose n}$$

Для этой суммы указанный способ также прекрасно проходит, и ответ получается простой и красивый: $1$, что вполне соответствует некоторому вероятностному смыслу данной суммы.