Третий факториал

[Ktina]

Рассмотрим последовательность:

6 12 14 20 30 39 42 56 62 72 84 90 110 120 ...

Это последовательность натуральных чисел, представимых в виде

$$n+n^2+\dots +n^k$$

, где $n, k \geqslant 2$ - натуральные числа.

В этой последовательности встречаются два факториала: 6 и 120.
А встретится ли в ней третий факториал?

[Yadryara]

Ну то есть это числа, которые в $n$-ричной системе счисления имеют вид $111...1110$. Нет, не встретится. В десятичной СС последние нули в факториалах продуцируются с куда большей скоростью, чем в числах такого вида.

[waxtep]

Только наброски:
1. Для простых $k$ почти наверняка проходит доказательство (несуществования) из статьи П.Эрдёша, Р.Облата, упоминавшейся здесь, поскольку $\dfrac n{n-1}(n^k-1)$ несильно отличается от $n^k-1$. Таким образом, для $m!$ с "большим" $m>20$ имеет смысл рассматривать только составные $k$ (в нашей задаче уже не возьмешь "не ограничивая общности" простые $k$, а, для составных, оценки из той статьи, насколько я могу понять, уже "в лоб" не работают). Ссылка на статью теперь выглядит так

2. Дальше раздолье для программного поиска в мат.пакетах: для данного $m!$ достаточно проверить в районе $2m$ комбинаций $(n,k)$ (и только составные $k$), поскольку $2\le k\le\left\lfloor\dfrac{\ln m!}{\ln (\lfloor\frac m 2\rfloor+1)}\right\rfloor<m$ и, для данного $k, \left\lfloor\dfrac m 2\right\rfloor+1\le n\le\left\lfloor\sqrt[k]{m!}\right\rfloor$ Можно устроить перебор по $k$, для каждого смело подставлять максимальное $n$ и уменьшать его, если результат превышает $m!$, до смены знака. Еще по пути полезно проверять, что $m!$ делится на $n$, но не на $n^2$