"Количество элементов" в бесконечных множествах

[Someone]

Errmacros в сообщении #1332085 писал(а):

Набрать по одной, пока не закончатся, прибавляя каждый раз по единице.

То есть, установить взаимно однозначное соответствие с некоторым "эталонным" множеством $\{1,2,3,\ldots,n\}$ (удобнее натуральному числу $n$ сопоставлять множество $\{0,1,2,\ldots,n-1\}$; естественно, числу $0$ соответствует пустое множество). Чем это отличается от способа сравнения множеств по мощности, кроме того, что для бесконечных множеств эталонное множество может не быть очевидным?

Далее идёт сообщение, которое я написал ранее, но отправку задержал.

-- Пн авг 13, 2018 02:20:24 --

Errmacros в сообщении #1332071 писал(а):

Или наоборот, как исторически было с аксиомой выбора. Контринтуитивные следствия побуждают к более тщательному анализу постулатов.

В итоге аксиома выбора осталась в первоначальном виде. Поскольку все "альтернативы" оказались хуже.

Errmacros в сообщении #1332071 писал(а):

сперва я не задумывался над тем, почему принято отождествлять разбиение на классы эквивалентности по признаку мощности и признаку количества элементов. Я не вижу примеров необходимости такого тождества, поэтому предпочитаю думать о мощности только как о характеристике класса множеств.

Плохо задумывались.

Собственно, понятие "количество элементов" определяется для конечных множеств. Помните, как найти количество элементов заданного конечного множества? Просто пересчитать их, последовательно произнося "один, два, три…", то есть, установить взаимно однозначное соответствие с некоторым эталонным множеством.
Мощность множества — это прямолинейное обобщение количества элементов на бесконечные множества. Равномощность устанавливается путём определения взаимно однозначного соответствия между двумя множествами. Вопрос об эталонных множествах в случае бесконечных множеств является сложным, но при наличии аксиомы выбора вполне решаемым.

-- Пн авг 13, 2018 02:28:11 --

Errmacros в сообщении #1332085 писал(а):

Количество элементов (число объединений различных одноэлементных подмножеств + 1)

???

Errmacros в сообщении #1332085 писал(а):

Количество элементов (…) собственного подмножества конечного множества меньше количества элементов этого множества; в таком же отношении находятся мощности. Не очень ясно, работает ли такое с бесконечными множествами.

Не работает.
Точнее, если отказаться от аксиомы выбора, то становятся возможными такие бесконечные множества, которые не содержат счётных подмножеств. Вот для них это выполняется: каждое собственное подмножество имеет меньшую мощность. Однако если есть аксиома выбора, то таких бесконечных множеств не может быть.

[Errmacros]

Someone в сообщении #1332088 писал(а):

???

Эквивалентно набору множества по одному элементу, просто не знал, что вам было нужно в вопросе "что такое количество элементов?"

-- 13.08.2018, 09:24 --

Someone в сообщении #1332088 писал(а):

Не работает.
Точнее, если отказаться от аксиомы выбора, то становятся возможными такие бесконечные множества, которые не содержат счётных подмножеств. Вот для них это выполняется: каждое собственное подмножество имеет меньшую мощность. Однако если есть аксиома выбора, то таких бесконечных множеств не может быть.

Почему это не аргумент в пользу определения arseniiv: (1) количество элементов определено не для всех множеств, а там, где определено, совпадает с мощностью?
Опять же, все сводится к определению количества элементов в бесконечном множестве, которое может быть взято в той или иной мере произвольно, однако все равно дает не больше информации (зачастую меньше), чем понятие мощности.

-- 13.08.2018, 09:25 --

Someone в сообщении #1332088 писал(а):

Мощность множества — это прямолинейное обобщение количества элементов на бесконечные множества.

Именно, что обобщение; обобщения зачастую теряют привычный смысл. То же самое происходит, например, с понятием шара в произвольном метрическом пространстве. Если так или иначе использовать понятие "количество элементов" для бесконечных множеств, то нужно разорвать интуитивные ассоциации с количеством элементов в конечных множествах, которое выражается натуральными числами. В случае с произвольным шаром и шаром в $\mathbb{R}3$ аналогичное намного проще, потому что дается конкретное определение; в случае же с количеством элементов авторы и преподаватели только апеллируют к интуиции, ничего особо не поясняя, поэтому и возникают вопросы.

[Someone]

Errmacros в сообщении #1332119 писал(а):

Эквивалентно набору множества по одному элементу

??? Вы о пересчёте, что-ли, хотите сказать? Типа «тычем пальцем в элементы множества и говорим "один, два, три…"»? Тогда так и говорите. Эта процедура устанавливает взаимно однозначное соответствие между пересчитываемым множеством и эталонным множеством.

Errmacros в сообщении #1332119 писал(а):

Почему это не аргумент в пользу определения arseniiv: (1) количество элементов определено не для всех множеств, а там, где определено, совпадает с мощностью?

Во-первых, это вообще не определение, а во-вторых, не его: arseniiv всего лишь пытается сколько-нибудь осмысленно переформулировать ваши невнятные высказывания.

Errmacros в сообщении #1332119 писал(а):

Опять же, все сводится к определению количества элементов в бесконечном множестве

Если Вы хотите употреблять слова́ "количество элементов" вместо сло́ва "мощность" — это ваше право, но тогда предупредите своих собеседников, что у Вас "количество элементов"="мощность". Если Вы имеете в виду какой-то другой смысл для термина "количество элементов" в случае бесконечных множеств, то уж извините, но пока у Вас никакого определения нет, и Вы пишете нечто бессмысленное.

Errmacros в сообщении #1332119 писал(а):

Если так или иначе использовать понятие "количество элементов" для бесконечных множеств, то нужно разорвать интуитивные ассоциации с количеством элементов в конечных множествах, которое выражается натуральными числами.

Не нужно ничего разрывать. И то, и другое определяется путём установления взаимно однозначного соответствия между двумя множествами, так что это одно и то же. То, что свойства этого понятия для конечных и бесконечных множеств различаются, является совершенно нормальным, поскольку и для других понятий различие свойств в разных ситуациях является типичным. Термин "количество элементов" по отношению к бесконечным множествам обычно вообще не применяется, а если применяется, то как синоним термина "мощность". Если автор желает употреблять этот термин в другом смысле, он должен сформулировать точное определение.

Errmacros в сообщении #1332119 писал(а):

в случае же с количеством элементов авторы и преподаватели только апеллируют к интуиции, ничего особо не поясняя

Они и употребляют эти слова именно с целью апелляции к интуиции.

Вы не перепутали раздел? В разделе "Помогите решить / разобраться (М)" никакие дискуссии не предполагаются. Если Вы недовольны тем, как понятие мощности излагается студентам, то Вам в раздел "Вопросы преподавания". Если Вы хотите порадовать нас альтернативным пониманием термина "количество элементов", то следовало открыть тему в разделе "Дискуссионные темы (М)".

[Anton_Peplov]

demolishka в сообщении #1332069 писал(а):

Непрерывная биекция с компактного пространства на хаусдорфово - обязательно гомеоморфизм.

Об этом я не знал или забыл. Спасибо.