"Количество элементов" в бесконечных множествах

[Errmacros]

Цитирую учебник по математическому анализу В.А. Зорича:
"Множества одного класса эквивалентности имеют одинаковое количество элементов (равномощны), а разных - разное". Насколько корректно (а если принципиальных противоречий не возникает, то насколько уместно) говорить, что отношение равномощности разбивает совокупность всех множеств на классы множеств с одинаковым количеством элементов?
Для конечных множеств естественным образом получается, что в собственном подмножестве данного множества элементов меньше, чем в самом множестве. Однако для бесконечного множества из приведенной выше цитаты следует, что в его собственном подмножестве может быть столько же элементов, сколько и в самом множестве. Во-первых, такое довольно контринтуитивно (получается, что на прямой столько же точек, сколько и на отрезке, причем все точки отрезка принадлежат прямой и существуют точки прямой, которые отрезку не принадлежат). Во-вторых, счетное множество может быть составлено последовательностью конечных множеств, для каждого из которых будет справедливо, что в собственном подмножестве данного множества элементов меньше, чем в самом множестве.

[demolishka]

Errmacros в сообщении #1332053 писал(а):

совокупность всех множеств

Про множество всех множеств говорить не хорошо, но вот про какую-то данную совокупность, если она откуда-то взялась (например, множество всех подмножеств вещественной прямой), - можно.

Ваша проблема в том, что не надо думать о равномощности применительно к бесконечным множествам как о совпадении для них каких-то количеств, размеров, площадей и прочего. Для этих целей существуют другие подходы.

Из этой науки полезно понимать три вещи:

1). Почему можно пронумеровать элементы $\mathbb{Q}$ и нельзя пронумеровать элементы отрезка $[0,1]$.
2). Почему отрезок $[0,1]$ и квадрат $[0,1]^{2}$ равномощны.
3). Почему биективное соответствие для 2) нельзя провести непрерывно.

[Errmacros]

demolishka в сообщении #1332057 писал(а):

Про множество всех множеств говорить не хорошо, но вот про какую-то данную совокупность, если она откуда-то взялась (например, множество всех подмножеств вещественной прямой), - можно.

Да, знаю про следующий из аксиоматики и теоремы Кантора запрет на "множество всех множеств"; не заметил, что такое написал)
Спасибо за ответ

[Anton_Peplov]

demolishka в сообщении #1332057 писал(а):

Почему биективное соответствие для 2) нельзя провести непрерывно.

взаимно непрерывно. Функция $f: [0, 1] \to [0, 1]^2$, вообще говоря, может быть непрерывной, но тогда обязательно разрывна $f^{-1}$, и обратно.

[arseniiv]

Контринтуитивно поначалу — да, это не новость. Потом привычно становится (что тоже не новость). Вообще во многих больших областях знаний, не только в математике, бывают такие вещи.

[demolishka]

Anton_Peplov в сообщении #1332062 писал(а):

Функция $f: [0, 1] \to [0, 1]^2$, вообще говоря, может быть непрерывной, но тогда обязательно разрывна $f^{-1}$, и обратно.

Непрерывная биекция с компактного пространства на хаусдорфово - обязательно гомеоморфизм.

[Errmacros]

arseniiv в сообщении #1332063 писал(а):

Контринтуитивно поначалу — да, это не новость. Потом привычно становится (что тоже не новость). Вообще во многих больших областях знаний, не только в математике, бывают такие вещи.

Или наоборот, как исторически было с аксиомой выбора. Контринтуитивные следствия побуждают к более тщательному анализу постулатов. В моем случае здесь как раз такой пример: сперва я не задумывался над тем, почему принято отождествлять разбиение на классы эквивалентности по признаку мощности и признаку количества элементов. Я не вижу примеров необходимости такого тождества, поэтому предпочитаю думать о мощности только как о характеристике класса множеств.

[arseniiv]

Errmacros в сообщении #1332071 писал(а):

Или наоборот, как исторически было с аксиомой выбора. Контринтуитивные следствия побуждают к более тщательному анализу постулатов.

Я бы не сказал, что это достаточно точное описание действительности, но лучше дальше это прямо тут не обсуждать.

Errmacros в сообщении #1332071 писал(а):

В моем случае здесь как раз такой пример: сперва я не задумывался над тем, почему принято отождествлять разбиение на классы эквивалентности по признаку мощности и признаку количества элементов.

А что такое количество элементов и чем оно сильно отличается от мощности?

[Grom Hellscream]

Anton_Peplov в сообщении #1332062 писал(а):

demolishka в сообщении #1332057 писал(а):

Почему биективное соответствие для 2) нельзя провести непрерывно.

взаимно непрерывно. Функция $f: [0, 1] \to [0, 1]^2$, вообще говоря, может быть непрерывной, но тогда обязательно разрывна $f^{-1}$, и обратно.

Это отображение не может быть непрерывным даже в одну сторону, т.к. непрерывная биекция компактных множеств обязана быть гомеоморфизмов.

[Errmacros]

arseniiv в сообщении #1332074 писал(а):

А что такое количество элементов и чем оно сильно отличается от мощности?

В случае конечных множеств оно совпадает с мощностью, в случае бесконечных видимые проблемы указаны в изначальном вопросе. Количество элементов в счетном и несчетном множествах с таким подходом различно, в чем не вижу ни естественности, ни необходимости. Как по мне, здесь достаточно указать, что а) количество элементов в данных множествах бесконечно, б) множества относятся к разным классам эквивалентности по признаку мощности.

[arseniiv]

Grom Hellscream
demolishka
Anton_Peplov
Кажется, вы спорите о терминах. Если «непрерывная биекция» — это непрерывная функция, имеющая какую угодно обратную, то прав Anton_Peplov и кривая Пеано — очевидный пример, а если непрерывная, имеющая непрерывную обратную, то сразу бы уж говорили о гомеоморфизмах, чего. Сходится ли насчёт того или иного понимания литература? Если нет, спор очевидно бессмыслен и не должен был начинаться.

[Grom Hellscream]

arseniiv в сообщении #1332077 писал(а):

Grom Hellscream
demolishka
Anton_Peplov
Кажется, вы спорите о терминах. Если «непрерывная биекция» — это непрерывная функция, имеющая какую угодно обратную, то прав Anton_Peplov и кривая Пеано — очевидный пример, а если непрерывная, имеющая непрерывную обратную, то сразу бы уж говорили о гомеоморфизмах, чего. Сходится ли насчёт того или иного понимания литература? Если нет, спор очевидно бессмыслен и не должен был начинаться.

Кривая Пеано биекция?

[Someone]

Errmacros в сообщении #1332076 писал(а):

В случае конечных множеств оно совпадает с мощностью, в случае бесконечных видимые проблемы указаны в изначальном вопросе. Количество элементов в счетном и несчетном множествах с таким подходом различно, в чем не вижу ни естественности, ни необходимости. Как по мне, здесь достаточно указать, что а) количество элементов в данных множествах бесконечно, б) множества относятся к разным классам эквивалентности по признаку мощности.

Извините, это что-то невразумительное. Совершенно непонятно, чем же всё-таки отличается мощность от количества элементов.

Допустим, у нас имеется конечное множество — разнокалиберные гайки в банке. Кан нам определить количество элементов в этом множестве?

arseniiv в сообщении #1332077 писал(а):

кривая Пеано

Кривая Пеано — не биекция.

[arseniiv]

Упс.

-- Пн авг 13, 2018 03:35:43 --

Errmacros в сообщении #1332076 писал(а):

В случае конечных множеств оно совпадает с мощностью, в случае бесконечных видимые проблемы указаны в изначальном вопросе. Количество элементов в счетном и несчетном множествах с таким подходом различно, в чем не вижу ни естественности, ни необходимости. Как по мне, здесь достаточно указать, что а) количество элементов в данных множествах бесконечно, б) множества относятся к разным классам эквивалентности по признаку мощности.

Ну, если телепатировать, получается, что
(1) количество элементов определено не для всех множеств, а там, где определено, совпадает с мощностью, или
(2) количество элементов определено для всех множеств, но там, где не совпадает с мощностью, даёт меньше информации, чем она.

Очевидно, что во втором случае мощность более полезное понятие, но при этом не сильно более сложно определяемое, так что такое «количество элементов» идёт в печку (если же нам надо знать, конечно множество или бесконечно, нам не обязательно упоминать ни мощность, ни количество элементов), и никакой проблемы не возникает. Очевидно, что в первом случае количество элементов — это просто название для мощности в случае, когда она натуральное число, так что никакой проблемы не возникает.

[Errmacros]

Someone в сообщении #1332079 писал(а):

Извините, это что-то невразумительное. Совершенно непонятно, чем же всё-таки отличается мощность от количества элементов.
Допустим, у нас имеется конечное множество — разнокалиберные гайки в банке. Кан нам определить количество элементов в этом множестве?

Количество элементов (число объединений различных одноэлементных подмножеств + 1) собственного подмножества конечного множества меньше количества элементов этого множества; в таком же отношении находятся мощности. Не очень ясно, работает ли такое с бесконечными множествами. На самом деле, если считать счетность и несчетность количеством элементов, то вполне возможно.

Набрать по одной, пока не закончатся, прибавляя каждый раз по единице.

-- 13.08.2018, 01:57 --

arseniiv в сообщении #1332082 писал(а):

Упс.
Ну, если телепатировать, получается, что
(1) количество элементов определено не для всех множеств, а там, где определено, совпадает с мощностью, или
(2) количество элементов определено для всех множеств, но там, где не совпадает с мощностью, даёт меньше информации, чем она.

Да, все так. Вопрос определения.