Загадочный параллелепипед

[Ktina]

Дан прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения (длина, ширина и высота) – целые числа. Известно, что если длину и ширину увеличить на 1, а высоту уменьшить на 2, то объём параллелепипеда не изменится.

Сколько из измерений исходного параллелепипеда могут быть кратны трём? Найти все возможные варианты и доказать, что других нет.

[wrest]

Пусть ребра $a,b,c$ и задана длина $a$, тогда ширина и высота будут $b=a+1;c=a+2$
Кратно трем будет одно из них. Длину и ширину можно менять местами "не нарушая общности".

[gris]

Разные параллелепипеды (с точностью до порядка перечисления измерений) вполне могут иметь одинаковый объём.
Например: $1\times2\times3=2\times3\times1$ — кто бы спорил.
А вот: $3\times8\times6=4\times9\times4$
Ясно, что все три делится на три не могут. Но и не делится втроём тоже не могут. Арифмост ваш запрещает. Один это вам не два, понимаете.

[wrest]

gris в сообщении #1331937 писал(а):

Разные параллелепипеды (с точностью до порядка перечисления измерений) вполне могут иметь одинаковый объём.

Но, видимо, не могут удовлетворять условиям загадки.

[gris]

Загадки ТС порой трудно интерпретировать однозначно, поэтому это лишь моё видение условий. Если "объём" это произведение измерений, то я же привёл пример, когда получившийся параллелепипед, как ни крути, исходному не равен, а воды туда можно налить столько же.

[Ktina]

wrest в сообщении #1331944 писал(а):

gris в сообщении #1331937 писал(а):

Разные параллелепипеды (с точностью до порядка перечисления измерений) вполне могут иметь одинаковый объём.

Но, видимо, не могут удовлетворять условиям загадки.

А почему не могут-то? У gris всё правильно.

-- 12.08.2018, 15:48 --

gris в сообщении #1331948 писал(а):

Если "объём" это произведение измерений, ...

А что ещё можно понимать под объёмом?

[gris]

Об ём я ничего хорошего сказать не могу. Бывает ориентированный объём. В смысле смешанного произведения векторов.

[waxtep]

Один или два должны; а, соответственно, два или один не должны
Делал долго, путаясь и нудно, но для невозможности $0$ и $3$ вполне достаточно рассмотрения объемов по модулю $3$. Примеры для $1$ и $2$ (ДШВ): $2\times3\times4,3\times8\times6$

[wrest]

Ktina в сообщении #1331949 писал(а):

А почему не могут-то? У gris всё правильно.

gris в сообщении #1331948 писал(а):

то я же привёл пример, когда получившийся параллелепипед, как ни крути, исходному не равен, а воды туда можно налить столько же.

Да, все верно, это у меня с арифметикой проблемы