Две задачи на многочлены

[Nikita432472]

1. Известно, что $P(x^7) \vdots (x^7-11x+10)$. Докажите, что $P(x^n) \vdots (x^n-1)$ при любом n ∈ N.
2. Многочлен $x^3 + px^2 + qx + r$ имеет на интервале (0; 2) три корня. Докажите, что −2 < p + q + r < 0.

[worm2]

2. Пусть корни многочлена — $a$, $b$ и $c$. По теореме Виета $p=-a-b-c$, $q=ab+bc+ac$, $r=-abc$.
$p+q+r+1=(1-a)(1-b)(1-c)$. Сомножители в правой части по модулю меньше 1, значит, и произведение по модулю меньше 1.

[kotenok gav]

worm2 в сообщении #1331904 писал(а):

$p+q+r+1=(1-a)(1-b)(1-c)$

Это можно было добится, просто подставив $x=1$. Теорема Виета не нужна.

[Nikita432472]

Спасибо

[iifat]

1. $x=1$ — корень. Дальше просто.

[Nikita432472]

А ну да

[worm2]

kotenok gav в сообщении #1331910 писал(а):

Теорема Виета не нужна.

Как всё просто В обеих задачах нужно всего лишь подставить $x=1$.