2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Две задачи на многочлены
Сообщение12.08.2018, 10:36 


05/08/17
17
1. Известно, что $P(x^7) \vdots (x^7-11x+10)$. Докажите, что $P(x^n) \vdots (x^n-1)$ при любом n ∈ N.
2. Многочлен $x^3 + px^2 + qx + r$ имеет на интервале (0; 2) три корня. Докажите, что −2 < p + q + r < 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи на многочлены
Сообщение12.08.2018, 12:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2402
Уфа
2. Пусть корни многочлена — $a$, $b$ и $c$. По теореме Виета $p=-a-b-c$, $q=ab+bc+ac$, $r=-abc$.
$p+q+r+1=(1-a)(1-b)(1-c)$. Сомножители в правой части по модулю меньше 1, значит, и произведение по модулю меньше 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи на многочлены
Сообщение12.08.2018, 12:28 


21/05/16
1834
Аделаида
worm2 в сообщении #1331904 писал(а):
$p+q+r+1=(1-a)(1-b)(1-c)$

Это можно было добится, просто подставив $x=1$. :-) Теорема Виета не нужна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи на многочлены
Сообщение12.08.2018, 12:29 


05/08/17
17
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи на многочлены
Сообщение12.08.2018, 13:34 
Заслуженный участник


16/02/13
3250
Владивосток
1. $x=1$ — корень. Дальше просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи на многочлены
Сообщение12.08.2018, 13:52 


05/08/17
17
А ну да :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи на многочлены
Сообщение12.08.2018, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2402
Уфа
kotenok gav в сообщении #1331910 писал(а):
Теорема Виета не нужна.
:facepalm:
Как всё просто :-) В обеих задачах нужно всего лишь подставить $x=1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group