Обобщение микстурных чисел

[Ktina]

А вот и обещанное продолжение.

Натуральное число назовём $n-$микстурным, если оно равно сумме квадратов
$n$ своих различных натуральных делителей. (К делителям числа причисляются
также единица и само число).

Докажите, что для каждого натурального $n$ существует бесконечно много $n$-микстурных чисел.

[svv]

Ktina в сообщении #1331842 писал(а):

если оно равно сумме квадратов $n$ своих различных натуральных делителей

Требуется ли здесь, чтобы это были все делители числа, или это какие-то $n$ чисел из множества всех делителей?

[Ktina]

svv в сообщении #1331861 писал(а):

Ktina в сообщении #1331842 писал(а):

если оно равно сумме квадратов $n$ своих различных натуральных делителей

Требуется ли здесь, чтобы это были все делители числа, или это какие-то $n$ чисел из множества всех делителей?

Изначально не требовалось (тогда задача становится нетрудной), но можно разбить задачу на два пункта, тогда второй будет потяжелее, если вообще не открытой проблемой.

-- 12.08.2018, 01:18 --

Ой, какую ерунду я пишу! Если делитель больше корня из числа, то его квадрат уже больше самого числа!

-- 12.08.2018, 01:20 --

Не говоря уже о том, что и само число является делителем себя самоё.

[svv]

Ой, какую ерунду я спрашиваю!

[waxtep]

Кажется, это можно доказать по индукции, попробую сделать набросок, вместо строгого доказательства:
1. Любое $m^2$ - $1$-микстурное;
2. Если $m=3\cdot4\cdot5\cdot s$, то $m^2$ будет и $2$-микстурным: $(3\cdot4\cdot5\cdot s)^2=(3\cdot3\cdot4\cdot s)^2+(3\cdot4\cdot4\cdot s)^2$ (подойдет любая Пифагорова тройка)
3. Далее, если $s=3\cdot4\cdot5\cdot t$, мы можем получить бесконечное семейство $3$-микстурных чисел, разложив первое (или второе) слагаемое из (2) в сумму двух квадратов аналогичным образом.
4. Как бы...и так далее! Получается, $3^{2n}\cdot4^{2n}\cdot5^{2n}$ - $(n+1)$-микстурно, ну и домножение на квадрат произвольного натурального дает бесконечное семейство.

[Ktina]

waxtep
Ну как бы да.
А можно ещё одним способом.

$$2^2+4^2=20;\quad 2^2+4^2+20^2=420;\quad 2^2+4^2+20^2+420^2\dots$$

Ну и так далее...
То есть, для каждого $n$ мы нашли микстурное число.

-- 12.08.2018, 01:39 --

А то, что бесконечно много при каждом из $n$, это уже совсем легко. Если есть одно, то их бесконечно много, ибо если $k$ - микстурное, то и $4k$ - тоже!

[wrest]

Число 720 является 2,3,4,5,6,7,8,9,10-микстурным

[Ktina]

wrest в сообщении #1331869 писал(а):

Число 720 является 2,3,4,5,6,7,8,9,10-микстурным

К тому же, оно ещё и факториал.

[Aritaborian]

Вы только дуэль не устраивайте за право на нём жениться ;-)